Core Concepts
Eine einfache geschlossene Konstruktion des Matrixproduktoperators der Quantenfourier-Transformation unter Verwendung der interpolativen Zerlegung, mit garantierter nahezu optimaler Kompressionsgenauigkeit für eine gegebene Rangzahl.
Abstract
Der Artikel präsentiert eine direkte interpolative Konstruktion des Matrixproduktoperators (MPO) der Quantenfourier-Transformation (QFT). Die Konstruktion verwendet eine rekursive Anwendung der Chebyshev-Lobatto-Interpolation, um eine nahezu optimale MPO-Darstellung der QFT mit garantierter Fehlerschranke zu erhalten.
Zunächst wird gezeigt, dass die Rangschranke der Entfaltungsmatrizen der QFT durch die Interpolationsfehleranalyse abgeschätzt werden kann. Darauf aufbauend wird die MPO-Konstruktion der QFT präsentiert, bei der jeder Tensor-Kern durch eine Interpolationsformel definiert ist. Es wird bewiesen, dass diese Konstruktion einen super-exponentiellen Fehlerabfall in Bezug auf die Rangzahl des MPO liefert, im Gegensatz zur linearen Skalierung, die für die Approximative QFT (AQFT) benötigt wird. Somit erweist sich die Chebyshev-Lobatto-Interpolation als effizienter als die implizit von der AQFT verwendete stückweise konstante Interpolation.
Darüber hinaus wird gezeigt, dass die AQFT selbst als MPO interpretiert werden kann, der durch ein anderes Interpolationsschema konstruiert wird. Dies erklärt, warum die AQFT einen höheren MPO-Rang als die QFT-MPO-Konstruktion aufweist, bei gleicher Fehlertoleranz.
Stats
Die Entrywise-Fehlerschranke des n-Qubit AQFT mit Approximationslevel b ist durch πn 2^(-b) beschränkt.
Quotes
Die Fehlergenauigkeit der AQFT-MPO-Darstellung fällt linear mit der Bondlänge ab, während die Fehlergenauigkeit der QFT-MPO-Darstellung super-exponentiell mit der Bondlänge abfällt.