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Direkte interpolative Konstruktion der diskreten Fourier-Transformation als Matrixproduktoperator


Core Concepts
Eine einfache geschlossene Konstruktion des Matrixproduktoperators der Quantenfourier-Transformation unter Verwendung der interpolativen Zerlegung, mit garantierter nahezu optimaler Kompressionsgenauigkeit für eine gegebene Rangzahl.
Abstract
Der Artikel präsentiert eine direkte interpolative Konstruktion des Matrixproduktoperators (MPO) der Quantenfourier-Transformation (QFT). Die Konstruktion verwendet eine rekursive Anwendung der Chebyshev-Lobatto-Interpolation, um eine nahezu optimale MPO-Darstellung der QFT mit garantierter Fehlerschranke zu erhalten. Zunächst wird gezeigt, dass die Rangschranke der Entfaltungsmatrizen der QFT durch die Interpolationsfehleranalyse abgeschätzt werden kann. Darauf aufbauend wird die MPO-Konstruktion der QFT präsentiert, bei der jeder Tensor-Kern durch eine Interpolationsformel definiert ist. Es wird bewiesen, dass diese Konstruktion einen super-exponentiellen Fehlerabfall in Bezug auf die Rangzahl des MPO liefert, im Gegensatz zur linearen Skalierung, die für die Approximative QFT (AQFT) benötigt wird. Somit erweist sich die Chebyshev-Lobatto-Interpolation als effizienter als die implizit von der AQFT verwendete stückweise konstante Interpolation. Darüber hinaus wird gezeigt, dass die AQFT selbst als MPO interpretiert werden kann, der durch ein anderes Interpolationsschema konstruiert wird. Dies erklärt, warum die AQFT einen höheren MPO-Rang als die QFT-MPO-Konstruktion aufweist, bei gleicher Fehlertoleranz.
Stats
Die Entrywise-Fehlerschranke des n-Qubit AQFT mit Approximationslevel b ist durch πn 2^(-b) beschränkt.
Quotes
Die Fehlergenauigkeit der AQFT-MPO-Darstellung fällt linear mit der Bondlänge ab, während die Fehlergenauigkeit der QFT-MPO-Darstellung super-exponentiell mit der Bondlänge abfällt.

Deeper Inquiries

Können andere interpolative Konstruktionen effizientere Quantenschaltkreise liefern, die die QFT approximieren

Interpolative Konstruktionen können potenziell effizientere Quantenschaltkreise liefern, die die Quanten-Fourier-Transformation (QFT) approximieren. Durch die Verwendung von Interpolationsmethoden wie der Chebyshev-Lobatto-Interpolation können MPOs mit geringerem Rang erzeugt werden, was zu einer effizienteren Darstellung der QFT führt. Diese MPOs können dann in der Simulation von Quantenschaltkreisen verwendet werden, um die Anwendung der QFT zu beschleunigen. Durch die Verwendung von Interpolationsmethoden können auch Fehlerkontrollen und Optimierungen vorgenommen werden, um die Genauigkeit und Effizienz der Approximation zu verbessern.

Wie lässt sich die Beziehung zwischen der Entropie der Eingangszustände und der Kompressibilität der QFT als MPO quantifizieren

Die Beziehung zwischen der Entropie der Eingangszustände und der Kompressibilität der QFT als MPO kann quantitativ durch die Analyse der Schmidt-Koeffizienten quantifiziert werden. Die Schmidt-Koeffizienten geben Aufschluss über die Entanglement-Struktur des Systems und können verwendet werden, um die Effizienz der MPO-Approximation zu bewerten. Eine niedrige Entropie der Eingangszustände deutet auf eine geringe Verschränkung hin, was wiederum die Kompressibilität der QFT als MPO verbessern kann. Durch die quantitative Analyse der Schmidt-Koeffizienten kann die Beziehung zwischen Entropie und Kompressibilität genauer verstanden und quantifiziert werden.

Welche Anwendungen der direkten interpolativen Konstruktion des QFT-MPO in der Quantencomputer-Simulation oder in der Behandlung hochdimensionaler Probleme sind denkbar

Die direkte interpolative Konstruktion des QFT-MPO kann in verschiedenen Anwendungen in der Quantencomputersimulation und bei der Behandlung hochdimensionaler Probleme eingesetzt werden. Zum einen kann sie zur Beschleunigung von Quantenschaltkreissimulationen verwendet werden, indem sie eine effiziente Darstellung der QFT ermöglicht. Darüber hinaus kann die direkte interpolative Konstruktion in der Lösung von hochdimensionalen Problemen, wie beispielsweise in der Tensorrechnung oder der Simulation komplexer quantenmechanischer Systeme, eingesetzt werden. Die effiziente und genaue Darstellung der QFT als MPO kann die Leistungsfähigkeit und Skalierbarkeit von Quantenalgorithmen und Simulationen verbessern.
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