Konstanten der Bewegung für konservierte und nicht-konservierte Dynamik

Core Concepts

Die Existenz einer Konstante der Bewegung für ein nicht-konserviertes Modell ist eine Manifestation der Energieerhaltung des Gesamtsystems (d.h. Oszillator plus dissipative Umgebung).

Abstract

Der Artikel beginnt mit einem dynamischen Modell, das durch Anwendung einer Maschinenlernmethode (FJet) auf Zeitreihendaten erhalten wurde. Dieses Modell wird dann mit Lie-Symmetrietechniken analysiert, um Konstanten der Bewegung zu erhalten. Dies wird sowohl für den konservierten als auch für den nicht-konservierten Fall des 1D- und 2D-harmonischen Oszillators durchgeführt. Für den 1D-Oszillator werden Konstanten in den Fällen gefunden, in denen das System unterdämpft, überdämpft und kritisch gedämpft ist. Die neuartige Existenz einer solchen Konstante für ein nicht-konserviertes Modell wird als Manifestation der Energieerhaltung des Gesamtsystems (d.h. Oszillator plus dissipative Umgebung) interpretiert. Für den 2D-Oszillator werden Konstanten für den isotropen und anisotropen Fall gefunden, einschließlich des Falles, in dem die Frequenzen inkommensurabel sind. Dies wird auch auf beliebige Dimensionen verallgemeinert. Darüber hinaus wird eine Konstante identifiziert, die für alle Frequenzverhältnisse den Drehimpuls verallgemeinert. Der hier vorgestellte Ansatz kann aus einem einzigen, generischen Datensatz mehrere Konstanten der Bewegung erzeugen.

Stats

Die Gleichung der Bewegung für den 1D gedämpften harmonischen Oszillator lautet: ¨u + 2γ ˙u + ω²₀u = 0 Für den 2D-Fall lauten die Gleichungen: ¨uk + 2γ ˙uk + ω²ₖ₀uk = 0, mit k = 1, 2

Quotes

"Die neuartige Existenz einer solchen Konstante für ein nicht-konserviertes Modell wird als Manifestation der Energieerhaltung des Gesamtsystems (d.h. Oszillator plus dissipative Umgebung) interpretiert." "Der hier vorgestellte Ansatz kann aus einem einzigen, generischen Datensatz mehrere Konstanten der Bewegung erzeugen."

Key Insights Distilled From

Constants of Motion for Conserved and Non-conserved Dynamics

by Michael F. Z... at arxiv.org 03-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.19418.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die gefundenen Konstanten der Bewegung auf andere physikalische Systeme mit Dissipation verallgemeinern

Die gefundenen Konstanten der Bewegung können auf andere physikalische Systeme mit Dissipation verallgemeinert werden, indem man ähnliche Analysetechniken auf diese Systeme anwendet. In dem vorliegenden Kontext wurden die Konstanten der Bewegung für ein gedämpftes 1D- und 2D-Oszillator-Modell gefunden, indem Lie-Symmetrietechniken und maschinelles Lernen angewendet wurden. Diese Techniken könnten auch auf andere Systeme angewendet werden, die eine ähnliche Struktur aufweisen, um Konstanten der Bewegung zu identifizieren.

Welche Auswirkungen hätte eine Erweiterung des Ansatzes auf nichtlineare Systeme

Eine Erweiterung des Ansatzes auf nichtlineare Systeme könnte zu komplexeren Konstanten der Bewegung führen, die die Nichtlinearität des Systems widerspiegeln. Nichtlineare Systeme können kompliziertere Dynamiken aufweisen, die durch eine Vielzahl von Symmetrien und Invarianten beschrieben werden können. Durch die Anwendung von Lie-Symmetrien und maschinellem Lernen auf nichtlineare Systeme könnten neue Erkenntnisse über die Struktur und das Verhalten dieser Systeme gewonnen werden.

Inwiefern können die Erkenntnisse über Symmetrien und Invarianten in der Quantenmechanik angewendet werden

Die Erkenntnisse über Symmetrien und Invarianten aus der klassischen Mechanik können auf die Quantenmechanik angewendet werden, um ähnliche Strukturen und Gesetzmäßigkeiten zu identifizieren. In der Quantenmechanik spielen Symmetrien eine entscheidende Rolle bei der Beschreibung von Teilchen und Wechselwirkungen auf subatomarer Ebene. Durch die Anwendung von Symmetrietechniken aus der klassischen Mechanik auf quantenmechanische Systeme können neue Einsichten in die Quantenwelt gewonnen werden. Dies könnte dazu beitragen, die Grundlagen der Quantenmechanik besser zu verstehen und neue Verbindungen zwischen klassischer und quantenmechanischer Physik herzustellen.