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Nodale Finite-Element-Approximation der Peridynamik


Core Concepts
NFEA der Peridynamik konvergiert zur exakten Lösung.
Abstract
Abstract: NFEA für nichtlineare peridynamische Modelle. Konvergenz der diskreten Lösung zur exakten Lösung. Numerische Beispiele zu Rissausbreitung und Belastungsbedingungen. Einleitung: Peridynamik als Reformulierung der Kontinuumsmechanik. Nichtlokale Bruchtheorie numerisch angewendet. Finite-Element-Approximation: NFEA vs. Standard FEA. Diskrete Lösung der peridynamischen Gleichung. A-priori-Konvergenz: Schätzung der Fehlerterme. Konvergenz der NFEA-Lösung. Numerische Ergebnisse: Implementierung der NFEA-Methode. Beispiele zur Rissausbreitung und Materialverformung.
Stats
Unter der Annahme, dass die Lösung (u, v = ∂tu) der peridynamischen Gleichung (11) ist, wird das Schema als konsistent betrachtet und der Gesamtfehler Ek wird wie folgt begrenzt: sup k≤T/∆t Ek ≤ Cph2 + exp[T (1 + L1¯n p c2/c1/ϵ2) 1 − ∆t ] [||e0 h(u)|| + ||e0 h(v)|| + (T 1 − ∆t ) (Ct∆t + Cs h2/ϵ2 )]
Quotes

Key Insights Distilled From

by Prashant K. ... at arxiv.org 03-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.05501.pdf
Nodal finite element approximation of peridynamics

Deeper Inquiries

Wie beeinflusst die Wahl der Diskretisierungsmethode die Konvergenz der NFEA-Lösung?

Die Wahl der Diskretisierungsmethode hat einen signifikanten Einfluss auf die Konvergenz der NFEA-Lösung. Bei der nodalen Finite-Elemente-Approximation (NFEA) wird die Gleichung für die diskrete Verschiebungsfunktion an jedem Gitterknoten geschrieben. Im Vergleich zur Standard-Finite-Elemente-Approximation (FEA), bei der die Näherungslösung die Variationsform der Gleichung erfüllt, führt die NFEA zu einem zusätzlichen Diskretisierungsfehler. Dieser Fehler kann die Konvergenz der Lösung beeinflussen. Durch die NFEA wird die Berechnung des Integrals des Produkts der Peridynamik-Kraft und der Testfunktion vereinfacht, jedoch auf Kosten eines zusätzlichen Diskretisierungsfehlers. Dieser Fehler kann durch Konsistenzfehler in der numerischen Diskretisierung der Peridynamik-Kraft entstehen. Die Wahl der Diskretisierungsmethode beeinflusst somit direkt die Genauigkeit und Konvergenz der NFEA-Lösung.

Welche Auswirkungen haben die Materialparameter auf die numerischen Ergebnisse?

Die Materialparameter haben signifikante Auswirkungen auf die numerischen Ergebnisse in der peridynamischen Finite-Elemente-Approximation (NFEA). Die Materialparameter wie die elastische Festigkeit des Materials, die kritische Bruchenergie und die Form der Kraftpotenzialfunktion beeinflussen direkt die peridynamische Kraft, die in die Gleichungen einfließt. Eine Änderung der Materialparameter kann die Art und Weise beeinflussen, wie Risse entstehen, sich ausbreiten und interagieren. Dies kann zu unterschiedlichen Bruchmustern und -geschwindigkeiten führen. Darüber hinaus können die Materialparameter die Konvergenzgeschwindigkeit der NFEA-Lösung beeinflussen, da sie die Genauigkeit der numerischen Approximation und die Stabilität des Algorithmus beeinflussen.

Wie könnte die NFEA-Methode auf andere mechanische Probleme angewendet werden?

Die NFEA-Methode kann auf eine Vielzahl von mechanischen Problemen angewendet werden, insbesondere solche, die nicht lokal interagieren oder bei denen Risse und Brüche auftreten. Einige Anwendungen könnten umfassen: Materialversagen und Bruchmechanik: Die NFEA eignet sich gut zur Modellierung von Materialversagen, Rissausbreitung und Bruchmechanik in verschiedenen Materialien. Verbundwerkstoffe: Die Methode kann auf die Analyse von Verbundwerkstoffen angewendet werden, um das Verhalten von Fasern, Matrixmaterialien und deren Wechselwirkungen zu untersuchen. Geotechnik: In der Geotechnik kann die NFEA zur Untersuchung von Bodenverformungen, Stabilität von Böschungen und Fundamenten sowie anderen geotechnischen Problemen eingesetzt werden. Strukturdynamik: Die Methode kann auch zur Analyse von Strukturdynamikproblemen wie Schwingungen, Stoßbelastungen und strukturmechanischen Interaktionen verwendet werden. Insgesamt bietet die NFEA eine vielseitige und leistungsfähige Methode zur numerischen Analyse verschiedener mechanischer Probleme, insbesondere solcher, die nicht lokal interagieren oder komplexe Bruchmechanismen aufweisen.
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