Effizienter Ansatz zur Beobachtbarkeit nichtlinearer dynamischer Systeme über endlichen Körpern

Core Concepts

Durch den Einsatz des Koopman-Operator-Frameworks wird eine minimale lineare Realisierung (LOR) eines nichtlinearen dynamischen Systems über endlichen Körpern konstruiert, die alle Ausgabesequenzen des ursprünglichen nichtlinearen Systems erzeugen kann. Anhand dieser LOR werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Beobachtbarkeit des nichtlinearen Systems sowie eine obere Schranke für die Anzahl der benötigten Ausgaben zur eindeutigen Rekonstruktion der Anfangsbedingungen hergeleitet.

Abstract

Der Artikel befasst sich mit der Beobachtbarkeit nichtlinearer dynamischer Systeme über endlichen Körpern (DSFF). Dafür wird zunächst eine lineare Realisierung (LOR) des nichtlinearen Systems konstruiert, die alle Ausgabesequenzen des ursprünglichen Systems erzeugen kann.
Anschließend werden folgende Ergebnisse präsentiert:

Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Beobachtbarkeit des nichtlinearen DSFF durch die LOR
Eine obere Schranke für die Anzahl der Ausgaben, die zur eindeutigen Rekonstruktion der Anfangsbedingungen benötigt werden
Der Nachweis, dass die Beobachtbarkeit eines einzelnen Anfangszustands im nichtlinearen Fall nicht die Beobachtbarkeit des gesamten Systems impliziert, im Gegensatz zum linearen Fall
Die Konstruktion der LOR basiert auf der Einschränkung des Koopman-Operators auf den kleinsten invarianten Unterraum, der alle Ausgabefunktionen enthält. Dies ermöglicht es, die Beobachtbarkeit des nichtlinearen Systems über die Beobachtbarkeit der LOR zu analysieren.

Stats

Für ein beobachtbares nichtlineares DSFF über Fn
q ist die maximale Anzahl der Ausgaben, die zur eindeutigen Rekonstruktion der Anfangsbedingungen benötigt werden, gleich der Dimension N des linearen Ausgangsrealisierung (LOR).

Quotes

"Für einen beobachtbaren zeitinvarianten DSFF ist K immer endlich."
"In linearen Systemen ist die Beobachtbarkeit eines Anfangszustands äquivalent zur Beobachtbarkeit des gesamten Systems."

Key Insights Distilled From

Observability of Nonlinear Dynamical Systems over Finite Fields

by Ramachandran... at arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02336.pdf

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