Core Concepts
Eine neue adaptive Hyperbel-Kreuzraum-Jacobi-Methode wird entwickelt, um mehrdimensionale raumzeitliche Integro-Differentialgleichungen auf unbegrenzten Gebieten effizient zu lösen. Die Methode verwendet adaptive Techniken für dünn besetzte Jacobi-Spektralapproximationen im Hyperbel-Kreuzraum, um die Zahl der benötigten Basisfunktionen zu reduzieren.
Abstract
In dieser Arbeit wird eine neue adaptive Hyperbel-Kreuzraum-Jacobi-Methode (AHMJ) entwickelt, um mehrdimensionale raumzeitliche Integro-Differentialgleichungen auf unbegrenzten Gebieten effizient zu lösen.
Die Hauptbeiträge sind:
- Entwicklung adaptiver Hyperbel-Kreuzraum-Techniken, um die Basisfunktionen in der Spektralapproximation zeitlich anzupassen, um das dynamische Verhalten der Lösungen auf unbegrenzten Gebieten zu erfassen.
- Erweiterung der adaptiven Spektraltechniken auf Jacobi-Spektralapproximationen, die für Funktionen mit algebraischem Abklingen geeignet sind.
- Fehleranalyse der AHMJ-Methode für die Lösung von Integro-Differentialgleichungen, die zu einer effektiven Fehlerkontrolle führt.
Die AHMJ-Methode verwendet eine dünn besetzte Jacobi-Spektralapproximation im Hyperbel-Kreuzraum, um die Zahl der benötigten Basisfunktionen zu reduzieren. Durch adaptive Anpassung der Skalierungsfaktoren, Verschiebungen und Approximationsordnungen kann die Methode die dynamischen Lösungseigenschaften effizient erfassen. Die Fehleranalyse liefert eine obere Schranke für den Gesamtfehler, die sich aus drei Teilfehlern zusammensetzt: dem Jacobi-Approximationsfehler, dem Fehler des impliziten Runge-Kutta-Zeitdiskretisierungsschemas und dem Fehler der adaptiven Techniken.
Stats
Die Bilinearform a(u, v; t) erfüllt die folgenden stetigen und koerziven Bedingungen:
Es gibt Konstanten C0, c0 > 0 mit
a(u, v; t) ≤ C0 ∥u∥H1 ∥v∥H1,
c0 ∥u∥2H1 ≤ a(u, u; t).
Der nichtlineare Operator f(u; t) erfüllt die Lipschitz-Bedingung:
Es gibt eine Konstante L > 0 mit
|f(u; t) - f(v; t), ϕ| ≤ L ∥u - v∥L2 ∥ϕ∥L2.
Quotes
"Eine neue adaptive Hyperbel-Kreuzraum-Jacobi-Methode wird entwickelt, um mehrdimensionale raumzeitliche Integro-Differentialgleichungen auf unbegrenzten Gebieten effizient zu lösen."
"Die Methode verwendet adaptive Techniken für dünn besetzte Jacobi-Spektralapproximationen im Hyperbel-Kreuzraum, um die Zahl der benötigten Basisfunktionen zu reduzieren."