Core Concepts
In dieser Arbeit wird eine effiziente Matrix-freie Lösung von quasistatischen Phasenfeld-Bruchproblemen durch Kombination eines Newton-Verfahrens mit einem GMRES-Löser und einer geometrischen Mehrgitter-Vorkonditionierung untersucht. Der Ansatz ermöglicht die Behandlung der Ungleichheitsnebenbedingung für die Bruchirreversibilität mittels eines Primal-Dual-Aktive-Mengen-Verfahrens und die Verwendung lokaler Netzverfeinerung.
Abstract
Die Arbeit befasst sich mit der effizienten numerischen Lösung von quasistatischen Phasenfeld-Bruchproblemen. Ausgehend von der Formulierung als Variationsungleichungsproblem wird ein kombiniertes Newton-Aktive-Mengen-Verfahren entwickelt. Zur Lösung der resultierenden linearen Gleichungssysteme wird ein GMRES-Verfahren mit einer Matrix-freien geometrischen Mehrgitter-Vorkonditionierung verwendet.
Der Ansatz ermöglicht die Behandlung der Ungleichheitsnebenbedingung für die Bruchirreversibilität mittels eines Primal-Dual-Aktive-Mengen-Verfahrens. Außerdem wird eine lokale Netzverfeinerung berücksichtigt.
Die Implementierung erfolgt in einem Matrix-freien Rahmen, um den Speicherverbrauch zu reduzieren. Als Glätter für die Mehrgittermethode wird ein Chebyshev-Jacobi-Verfahren eingesetzt, das nur Matrixvektor-Produkte erfordert.
Die Leistungsfähigkeit des Gesamtverfahrens wird anhand eines Benchmark-Tests (Sneddon-Beispiel) demonstriert. Dabei zeigt sich eine gute Konvergenz der numerischen Lösung zur analytischen Referenzlösung bei zunehmender Netzverfeinerung.
Stats
Die Gesamtrissfläche (TCV) beträgt für die feinste Diskretisierung mit 2.516.661 Freiheitsgraden 0,00600751, verglichen mit dem exakten Wert von 0,0063186, was einem Fehler von 0,4% entspricht.
Die durchschnittliche Anzahl der GMRES-Iterationen über alle Inkremente und Newton-Schritte beträgt 50,97 für die feinste Diskretisierung.
Quotes
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