Optimale Ordnung der FEM für die dynamische Poroelastizität: Fehleranalyse für Elemente gleicher Ordnung

Core Concepts

Die Arbeit untersucht die numerische Approximation der dynamischen Poroelastizität durch eine Familie kontinuierlicher Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden mit Elementen gleicher Ordnung ohne weitere Stabilisierung für die Verschiebungs- und Porenwasserdruckvariable. Es werden optimale Ordnung L∞(L2)-Fehlerschätzungen bewiesen und numerisch bestätigt.

Abstract

Die Arbeit untersucht die numerische Approximation der dynamischen Poroelastizität, die die Strömung in deformierbaren porösen Medien modelliert, durch eine Familie kontinuierlicher Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden. Es wird eine Approximation mit Elementen gleicher Ordnung ohne weitere Stabilisierung für die Verschiebungs- und Porenwasserdruckvariable verwendet.
Im ersten Teil werden optimale Ordnung L∞(L2)-Fehlerschätzungen für diese Approximation bewiesen. Der Beweis folgt den Linien einer früheren Arbeit, erfordert aber eine Schärfung einer der Hilfsabschätzungen.
Im zweiten Teil wird ein numerisches Experiment präsentiert, das die theoretischen Ergebnisse bestätigt. Die Konvergenzordnungen der L2(L2)- und L∞(L2)-Fehler für die Verschiebungs-, Geschwindigkeits- und Druckvariablen werden numerisch untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass die gleich-geordnete Approximation in der Tat optimale Konvergenzordnungen liefert und keine Stabilitätsprobleme auftreten.

Stats

Die Approximation der Verschiebung u und Geschwindigkeit v konvergiert mit Ordnung O(τk+1 + hr+1).
Die Approximation des Porenwasserdrucks p konvergiert mit Ordnung O(τk+1 + hr+1).

Quotes

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Key Insights Distilled From

Optimal order FEM for dynamic poroelasticity

by Markus Bause... at arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.15696.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich die Analyse auf den inkompressiblen Grenzfall mit verschwindenden Koeffizienten erweitern

Um die Analyse auf den inkompressiblen Grenzfall mit verschwindenden Koeffizienten zu erweitern, müssten zusätzliche Annahmen getroffen werden, um die Stabilität und Konvergenz der Methode in diesem speziellen Szenario zu gewährleisten. Da im inkompressiblen Grenzfall die Koeffizienten c0 und K gegen Null gehen, verändert sich die Struktur des Problems und die herkömmlichen Stabilitätsannahmen könnten nicht mehr ausreichen. Es wäre erforderlich, spezifische Bedingungen oder Regularitätsannahmen einzuführen, um die Robustheit der Konvergenz in diesem Grenzfall zu zeigen.

Welche zusätzlichen Annahmen wären nötig, um die Robustheit der Konvergenz in diesem Grenzfall zu zeigen

Um die Robustheit der Konvergenz im inkompressiblen Grenzfall zu gewährleisten, wären zusätzliche Annahmen erforderlich. Eine mögliche Voraussetzung könnte die Einführung einer inf-sup-Stabilitätsbedingung für die beteiligten endlichen Elementräume sein. Diese Bedingung würde sicherstellen, dass die diskrete Approximation auch im inkompressiblen Grenzfall stabil bleibt und konvergiert. Darüber hinaus könnten Regularitätsannahmen für die Lösung des Problems im inkompressiblen Grenzfall notwendig sein, um die Konvergenz der Methode zu garantieren.

Welche Implikationen hätte eine optimale Ordnung der Approximation für die praktische Anwendung der Methode

Eine optimale Ordnung der Approximation hätte bedeutende Auswirkungen auf die praktische Anwendung der Methode in der dynamischen Poroelastizität. Durch die Gewährleistung einer optimalen Konvergenzordnung würde die Effizienz und Genauigkeit der numerischen Approximation verbessert. Dies könnte zu einer genaueren Vorhersage des Verhaltens von poroelastischen Materialien führen und somit die Zuverlässigkeit von Simulationen und Analysen in diesem Bereich erhöhen. Darüber hinaus könnte eine optimale Ordnung der Approximation die Rechenzeit reduzieren und die Genauigkeit der Ergebnisse verbessern, was insgesamt zu einer effizienteren und zuverlässigeren Modellierung von dynamischer Poroelastizität führen würde.