Effiziente numerische Methoden für die Maxey-Riley-Gleichungen mit Basset-Gedächtnisterm

Core Concepts

Die Maxey-Riley-Gleichungen beschreiben die Bewegung von endlich großen, kugelförmigen Partikeln in einer Flüssigkeit. Der Basset-Gedächtnisterm in diesen Gleichungen macht ihre numerische Lösung herausfordernd. Dieser Beitrag entwickelt effiziente numerische Methoden auf Basis von Finite-Differenzen-Verfahren und Runge-Kutta-Zeitschrittverfahren, um die Maxey-Riley-Gleichungen ohne Approximationen des Kerns zu lösen.

Abstract

Der Artikel behandelt die numerische Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen, die die Bewegung von endlich großen, kugelförmigen Partikeln in einer Flüssigkeit beschreiben. Der Basset-Gedächtnisterm in diesen Gleichungen macht ihre numerische Lösung herausfordernd, da er eine Integralgleichung mit einem singulären Kern darstellt.
Der Artikel präsentiert zwei Hauptbeiträge:

Eine Reformulierung der Maxey-Riley-Gleichungen als zeitabhängige partielle Differentialgleichung auf einem semi-unendlichen Pseudoraum, wie von Prasath et al. vorgeschlagen. Dies entfernt den Integralterm und den Gedächtniseffekt.

Zwei neue numerische Verfahren zur Lösung der reformulierten Gleichungen:

Ein Finite-Differenzen-Verfahren zweiter und vierter Ordnung, das Techniken von Koleva, Alshina et al. und Fazio und Janelli zur Behandlung des unendlichen Rechengebiets verwendet.
Implizit-explizite Runge-Kutta-Verfahren zweiter und vierter Ordnung zur effizienten zeitlichen Integration des semi-diskretisierten Problems.

Die Autoren vergleichen die Genauigkeit und Effizienz dieser neuen Verfahren mit der direkten numerischen Integration der Maxey-Riley-Gleichungen nach Daitche und der Methode von Prasath et al. basierend auf Polynomentwicklungen. Die Ergebnisse zeigen, dass die neuen Finite-Differenzen-Verfahren in den meisten Fällen die höchste Genauigkeit bei gleichzeitig geringster Rechenzeit liefern.

Stats

Die Maxey-Riley-Gleichungen enthalten einen Basset-Gedächtnisterm, der eine Integralgleichung mit einem singulären Kern darstellt.
Der Basset-Gedächtnisterm macht die numerische Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen herausfordernd und speicherintensiv.
Die Reformulierung der Maxey-Riley-Gleichungen als zeitabhängige partielle Differentialgleichung auf einem semi-unendlichen Pseudoraum entfernt den Integralterm und den Gedächtniseffekt.

Quotes

"Die Maxey-Riley-Gleichungen (MRE) beschreiben die Bewegung von endlich großen, kugelförmigen Partikeln in einer Flüssigkeit."
"Aufgrund von Nachlaufeffekten hängt die auf ein Partikel wirkende Kraft von dessen Vergangenheitstrajektorie ab. Dies wird durch einen Integralterm in den MRE, auch Basset-Kraft genannt, modelliert, der ihre numerische Lösung herausfordernd und speicherintensiv macht."
"Prasath et al. zeigen, dass das Lösen der MRE äquivalent ist zum Lösen einer diffusiven Wärmeleitungsgleichung, die auf einem semi-unendlichen Pseudoraum mit einer nichtlinearen Randbedingung gestellt ist."

Key Insights Distilled From

Efficient numerical methods for the Maxey-Riley equations with Basset history term

by Julio Urizar... at arxiv.org 03-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.13515.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte man die Finite-Differenzen-Verfahren weiter verbessern, um auch für sehr kleine Stokes-Zahlen und Dichteverhältnisse stabile und hochgenaue Lösungen zu erhalten?

Um die Finite-Differenzen-Verfahren für sehr kleine Stokes-Zahlen und Dichteverhältnisse zu verbessern und stabile sowie hochgenaue Lösungen zu erzielen, könnten folgende Ansätze verfolgt werden:

Adaptive Gitter: Die Verwendung von adaptiven Gittern, die sich an die lokalen Eigenschaften der Lösung anpassen, kann die Genauigkeit verbessern und die Anzahl der benötigten Gitterpunkte reduzieren.

Höhere Ordnung der Diskretisierung: Die Erhöhung der Ordnung der Diskretisierung kann zu genaueren Lösungen führen. Die Verwendung von höheren Ordnungen in der Raum- und Zeitdiskretisierung kann die Genauigkeit verbessern.

Stabilisierungstechniken: Die Implementierung von Stabilisierungstechniken wie künstlicher Viskosität oder künstlicher Dämpfung kann dazu beitragen, numerische Instabilitäten zu reduzieren und die Lösung für kleine Stokes-Zahlen stabil zu halten.

Zeitschrittsteuerung: Eine adaptive Zeitschrittsteuerung, die den Zeitschritt basierend auf der Lösungseigenschaft anpasst, kann dazu beitragen, die Genauigkeit zu verbessern und die Stabilität für kleine Stokes-Zahlen zu gewährleisten.

Berücksichtigung von Randbedingungen: Eine sorgfältige Behandlung der Randbedingungen, insbesondere bei unstetigen Anfangsbedingungen, kann dazu beitragen, Genauigkeit und Stabilität zu verbessern.

Welche alternativen Ansätze zur Behandlung der Unstetigkeiten in den Anfangsbedingungen bei Partikeln mit nichtverschwindender Anfangsrelativgeschwindigkeit könnten erfolgversprechend sein?

Für die Behandlung von Unstetigkeiten in den Anfangsbedingungen bei Partikeln mit nichtverschwindender Anfangsrelativgeschwindigkeit könnten folgende alternative Ansätze erfolgversprechend sein:

Glatte Interpolation: Anstatt diskrete Anfangsbedingungen zu verwenden, könnte eine glatte Interpolationstechnik wie Splines oder Wavelets eingesetzt werden, um die Unstetigkeiten zu mildern und eine kontinuierliche Anfangsbedingung zu erhalten.

Konservative Diskretisierung: Die Verwendung von konservativen Diskretisierungsmethoden, die den Massen- und Impulserhalt gewährleisten, kann dazu beitragen, Unstetigkeiten in den Anfangsbedingungen korrekt zu behandeln.

Entkopplung der Variablen: Durch die Entkopplung der Variablen in den Anfangsbedingungen und die schrittweise Lösung der Gleichungen können Unstetigkeiten besser berücksichtigt und stabilisiert werden.

Regularisierungsmethoden: Die Anwendung von Regularisierungsmethoden wie Tikhonov-Regularisierung oder Glättungsfunktionen kann dazu beitragen, Unstetigkeiten zu glätten und die Lösung zu stabilisieren.

Wie lassen sich die Erkenntnisse aus der Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen auf die Modellierung und Simulation von Mehrphasenströmungen in komplexen Geometrien übertragen?

Die Erkenntnisse aus der Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen können auf die Modellierung und Simulation von Mehrphasenströmungen in komplexen Geometrien auf folgende Weise übertragen werden:

Partikelverfolgung: Die Methoden zur Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen können auf die Verfolgung von Partikeln in Mehrphasenströmungen angewendet werden, um die Bewegung und Wechselwirkung von Partikeln mit der Strömung zu analysieren.

Kopplung mit Strömungssimulationen: Die Ergebnisse aus der Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen können in gekoppelten Strömungssimulationen verwendet werden, um die Auswirkungen von Partikeln auf die Strömung und umgekehrt zu berücksichtigen.

Optimierung von Mehrphasenmodellen: Die Erkenntnisse können dazu beitragen, bestehende Mehrphasenmodelle zu verbessern und anzupassen, um die Bewegung und Interaktion von Partikeln in komplexen Geometrien genauer zu modellieren.

Validierung von Experimenten: Durch den Vergleich von Simulationsergebnissen mit experimentellen Daten können die Lösungen der Maxey-Riley-Gleichungen dazu beitragen, Mehrphasenströmungen in komplexen Geometrien zu validieren und zu verifizieren.

Durch die Anwendung der Methoden und Erkenntnisse aus der Lösung der Maxey-Riley-Gleichungen können Mehrphasenströmungen in komplexen Geometrien genauer modelliert und simuliert werden, was zu einem besseren Verständnis der Strömungsphänomene und deren Auswirkungen führt.