Divergenzkonformes DG-Verfahren für die optimale Steuerung der Oseen-Gleichung mit variabler Viskosität

Core Concepts

Das Hauptziel dieser Studie ist es, das divergenzkonform-diskontinuierliche Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren (DGFEM) für die numerische Approximation von Optimalsteuerungsproblemen mit verteilten Nebenbedingungen, insbesondere für stationäre verallgemeinerte Oseen-Gleichungen, einzuführen.

Abstract

Die Studie führt das divergenzkonform-diskontinuierliche Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren (DGFEM) für die numerische Approximation von Optimalsteuerungsproblemen mit verteilten Nebenbedingungen ein, die insbesondere durch stationäre verallgemeinerte Oseen-Gleichungen beschrieben werden. Es werden optimale a-priori-Fehlerschranken in Energienormen für solche Probleme unter Verwendung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes hergeleitet. Darüber hinaus wird eine umfassende Analyse der L2-Fehlerschätzungen für von Diffusion und Konvektion dominierte Szenarien durchgeführt. Zusätzlich werden neue zuverlässige und effiziente a-posteriori-Fehlerschätzer für die optimale Steuerung der Oseen-Gleichung mit variabler Viskosität etabliert. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Experimente in zwei und drei Dimensionen validiert.

Stats

Es gibt einen positiven konstanten Wert ν0, so dass 0 < ν0 < ν(x) < ν1 für alle x ∈ Ω gilt.
Es gibt positive Konstanten κ und ξ, so dass σ(x) - 1/2 ∇ · β(x) ≥ κ und ∥σ - ∇ · β∥L∞(Ω) ≤ κξ für alle x ∈ Ω.

Quotes

"Das Hauptziel dieser Studie ist es, das divergenzkonform-diskontinuierliche Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren (DGFEM) für die numerische Approximation von Optimalsteuerungsproblemen mit verteilten Nebenbedingungen, insbesondere für stationäre verallgemeinerte Oseen-Gleichungen, einzuführen."
"Es werden optimale a-priori-Fehlerschranken in Energienormen für solche Probleme unter Verwendung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes hergeleitet."
"Zusätzlich werden neue zuverlässige und effiziente a-posteriori-Fehlerschätzer für die optimale Steuerung der Oseen-Gleichung mit variabler Viskosität etabliert."

Key Insights Distilled From

Divergence conforming DG method for the optimal control of the Oseen equation with variable viscosity

by Harpal Singh... at arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15783.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die Ergebnisse auf andere Typen von Strömungsproblemen mit variabler Viskosität übertragen

Die Ergebnisse dieser Studie können auf andere Arten von Strömungsproblemen mit variabler Viskosität übertragen werden, insbesondere auf Probleme, die durch die Navier-Stokes-Gleichungen oder andere Strömungsgleichungen beschrieben werden. Durch die Verwendung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes können ähnliche a priori Fehlerabschätzungen und numerische Lösungen für Strömungsprobleme mit variabler Viskosität erzielt werden. Dies ist besonders relevant für Probleme, bei denen die Viskosität des Fluids von Ort zu Ort oder mit der Zeit variiert, wie z.B. in nicht-newtonschen Strömungen oder in biomedizinischen Anwendungen, bei denen die Viskosität des Blutes eine Rolle spielt.

Welche zusätzlichen Herausforderungen ergeben sich bei der Erweiterung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes auf zeitabhängige Oseen-Gleichungen

Die Erweiterung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes auf zeitabhängige Oseen-Gleichungen bringt zusätzliche Herausforderungen mit sich, da die zeitliche Diskretisierung der Gleichungen berücksichtigt werden muss. Dies erfordert eine sorgfältige Behandlung der zeitabhängigen Terme in den Oseen-Gleichungen, um die Stabilität und Genauigkeit der numerischen Lösung sicherzustellen. Darüber hinaus müssen geeignete Zeitintegrationsverfahren implementiert werden, um die zeitabhängigen Variablen effizient zu behandeln. Die Berücksichtigung von zeitabhängigen Oseen-Gleichungen erweitert den Anwendungsbereich des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes auf instationäre Strömungsprobleme und eröffnet neue Möglichkeiten für die numerische Simulation von zeitabhängigen Strömungen.

Welche Implikationen haben die Ergebnisse dieser Studie für die praktische Anwendung der optimalen Steuerung in Bereichen wie Aerodynamik oder Medizintechnik

Die Ergebnisse dieser Studie haben wichtige Implikationen für die praktische Anwendung der optimalen Steuerung in Bereichen wie Aerodynamik oder Medizintechnik. Durch die Verwendung des divergenzkonformen DGFEM-Ansatzes können Ingenieure und Forscher präzise und effiziente numerische Lösungen für Strömungsprobleme mit variabler Viskosität entwickeln, die in der Aerodynamik von Flugzeugen, Fahrzeugen oder anderen Strukturen relevant sind. In der Medizintechnik können die Erkenntnisse dieser Studie zur Modellierung und Optimierung von Blutflussproblemen oder anderen biomedizinischen Strömungsproblemen genutzt werden. Die robusten a priori und a posteriori Fehlerabschätzungen ermöglichen eine zuverlässige Vorhersage der numerischen Lösungen und tragen zur Verbesserung von Strömungssimulationen in verschiedenen Anwendungsgebieten bei.