Eine effiziente Kombinations-Technik zur Lösung von optimalen Steuerungsproblemen mit zufälligen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen

Core Concepts

Eine neue Kombinations-Technik wird präsentiert, um effizient optimale Steuerungsprobleme mit zufälligen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen zu lösen. Die Methode kombiniert Lösungen von Teilproblemen mit unterschiedlichen räumlichen Diskretisierungen und Quadraturformeln für die stochastischen Variablen, um eine Gesamtlösung zu erhalten, die unter geeigneten Regularitätsannahmen die gleiche Genauigkeit wie eine volle Tensor-Produkt-Approximation erreicht, aber mit deutlich reduziertem Rechenaufwand.

Abstract

Der Artikel präsentiert eine neue Kombinations-Technik (CT) zur effizienten Lösung von optimalen Steuerungsproblemen (OCPs), die durch zufällige partielle Differentialgleichungen (PDEs) als Nebenbedingungen gegeben sind.
Die Kernidee ist es, die OCP-Lösung als Linearkombination von Lösungen zu approximieren, die auf unterschiedlichen räumlichen Diskretisierungen und Quadraturformeln für die stochastischen Variablen beruhen. Unter geeigneten Regularitätsannahmen kann die CT die gleiche Genauigkeit wie eine volle Tensor-Produkt-Approximation erreichen, aber mit deutlich reduziertem Rechenaufwand.
Der Artikel gliedert sich wie folgt:

Einführung des Problems der optimalen Steuerung unter Unsicherheit
Beschreibung der CT-Approximation, die auf hierarchischen Surplussen der Lösungen auf unterschiedlichen Diskretisierungen basiert
Diskussion zweier Ansätze zur Konstruktion der quasi-optimalen Indexmenge für die CT-Approximation: ein adaptives, inkrementelles Verfahren und eine a-priori Konstruktion basierend auf theoretischen Annahmen
Komplexitätsanalyse der a-priori CT-Approximation, die zeigt, dass die asymptotische Komplexität ausschließlich vom deterministischen Löser für die zufällige PDE abhängt
Numerische Validierung der theoretischen Annahmen und Ergebnisse an einem Modellproblem

Stats

Die Komplexität der CT-Approximation hängt ausschließlich von den Raten der deterministischen räumlichen Diskretisierung ab, nicht von den Raten der stochastischen Diskretisierung.
Für den Fall einer festen räumlichen Diskretisierung lautet die Fehlerabschätzung: Fehler ≤ Ce^(-γN √Wmax), wobei N die Dimension des Zufallsvektors ist und Wmax das maximale Rechenbudget.
Für den allgemeinen Fall variabler räumlicher und stochastischer Diskretisierung lautet die asymptotische Fehlerabschätzung: Fehler ≤ CW^(-μ) (log(W))^((μ+1)(n(Θ,χ)-1)), wobei μ, Θ und χ problemabhängige Konstanten sind und n(Θ,χ) die Anzahl der dominanten Raten beschreibt.

Quotes

"Eine neue Kombinations-Technik wird präsentiert, um effizient optimale Steuerungsprobleme mit zufälligen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen zu lösen."
"Unter geeigneten Regularitätsannahmen kann die CT die gleiche Genauigkeit wie eine volle Tensor-Produkt-Approximation erreichen, aber mit deutlich reduziertem Rechenaufwand."
"Die Komplexität der CT-Approximation hängt ausschließlich von den Raten der deterministischen räumlichen Diskretisierung ab, nicht von den Raten der stochastischen Diskretisierung."

Key Insights Distilled From

A combination technique for optimal control problems constrained by random PDEs

by Fabio Nobile... at arxiv.org 03-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2211.00499.pdf

Deeper Inquiries

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