Existenz und notwendige Bedingungen für Chattering-Phänomene in zeitoptimaler Steuerung hochrangiger Ketten-von-Integratoren-Systeme mit vollständigen Zustandsbeschränkungen

Core Concepts

Diese Arbeit etabliert einen theoretischen Rahmen für Chattering-Phänomene im klassischen Problem der zeitoptimalen Steuerung hochrangiger Ketten-von-Integratoren-Systeme mit vollständigen Zustandsbeschränkungen. Sie beweist erstmals die Existenz von Chattering in diesem Problem und leitet notwendige Bedingungen dafür her.

Abstract

Diese Arbeit untersucht die Chattering-Phänomene im klassischen Problem der zeitoptimalen Steuerung hochrangiger Ketten-von-Integratoren-Systeme mit vollständigen Zustandsbeschränkungen.

Zunächst wird gezeigt, dass es in diesem Problem höchstens eine Zustandsbeschränkung geben kann, die Chattering induziert. Dann werden notwendige Bedingungen für Zustandsbeschränkungen hergeleitet, die Chattering verursachen können. Dazu gehört, dass die Ordnung der Zustandsbeschränkung zwischen 1 und n-1 liegen muss und der entsprechende Zustand während der Chattering-Phase nicht konstant an der Beschränkung liegt.

Weiterhin werden das Verhalten der Kostate-Variablen während der Chattering-Phase analysiert. Es wird gezeigt, dass die Kostate-Variablen der Ordnung kleiner oder gleich der Ordnung der Chattering-Beschränkung unendlich oft das Vorzeichen wechseln, während die höheren Kostate-Variablen ein konstantes Vorzeichen haben. Außerdem konvergieren die Zustände und Kostate-Variablen gegen einen Grenzwert.

Basierend auf diesen Erkenntnissen wird bewiesen, dass Chattering-Phänomene nicht in Problemen der Ordnung n≤3 auftreten können, aber in Problemen der 4. Ordnung mit Geschwindigkeitsbeschränkungen existieren. Damit wird eine lang bestehende Fehlvorstellung in der Industrie bezüglich der Zeitoptimalität von S-förmigen Trajektorien mit minimaler Schaltanzahl korrigiert.

Stats

Für 1 ≤ k ≤ |s|, λk hat höchstens (|s| - k + 1) Nullstellen im Intervall (ti, ti+1).
Daher schaltet u höchstens |s| mal während (ti, ti+1).

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Key Insights Distilled From

Chattering Phenomena in Time-Optimal Control for High-Order Chain-of-Integrators Systems with Full State Constraints

by Yunan Wang,C... at arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.17675.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die Erkenntnisse über Chattering-Phänomene auf andere Klassen von optimalen Steuerungsproblemen übertragen

Die Erkenntnisse über Chattering-Phänomene können auf andere Klassen von optimalen Steuerungsproblemen übertragen werden, insbesondere auf Probleme mit hohen Ordnungen und Zustandsbeschränkungen. Chattering tritt auf, wenn der optimale Steuerungswechsel unendlich oft in einem endlichen Zeitraum erfolgt. Dieses Phänomen kann in verschiedenen optimalen Steuerungsproblemen auftreten, insbesondere bei Systemen mit Zustandsbeschränkungen und komplexen Dynamiken. Die Analyse von Chattering-Phänomenen kann dazu beitragen, die Stabilität und Konvergenz von optimalen Steuerungsalgorithmen in verschiedenen Anwendungen zu verstehen und zu verbessern.

Welche Auswirkungen haben Chattering-Phänomene auf die numerische Lösung des untersuchten Problems und wie können diese Auswirkungen abgemildert werden

Chattering-Phänomene haben erhebliche Auswirkungen auf die numerische Lösung des untersuchten Problems. Da Chattering dazu führt, dass der optimale Steuerungswechsel unendlich oft in einem endlichen Zeitraum erfolgt, kann dies die Genauigkeit und Konvergenz von numerischen Optimierungsalgorithmen beeinträchtigen. Die Diskontinuität in der optimalen Steuerung während des Chattering-Phänomens erschwert die numerische Integration und kann zu Instabilität und Konvergenzproblemen führen. Um diese Auswirkungen abzumildern, können verschiedene Ansätze wie Regularisierungsmethoden, adaptive Algorithmen und präzisere numerische Integrationstechniken angewendet werden. Durch die Berücksichtigung von Chattering-Phänomenen können numerische Lösungen verbessert und die Genauigkeit der optimalen Steuerungsalgorithmen erhöht werden.

Welche tieferen Zusammenhänge zwischen Chattering-Phänomenen und den grundlegenden Eigenschaften dynamischer Systeme lassen sich ableiten

Chattering-Phänomene sind eng mit den grundlegenden Eigenschaften dynamischer Systeme verbunden und können tiefere Einblicke in die Stabilität, Konvergenz und Steuerbarkeit von Systemen bieten. Das Auftreten von Chattering weist auf komplexe Dynamiken und nichtlineare Effekte in einem System hin. Die Analyse von Chattering-Phänomenen kann dazu beitragen, die Struktur und das Verhalten dynamischer Systeme besser zu verstehen, insbesondere in Bezug auf die Optimierung und Steuerung. Darüber hinaus können Erkenntnisse über Chattering-Phänomene dazu beitragen, robustere und effizientere Steuerungsstrategien zu entwickeln, die die spezifischen Herausforderungen dynamischer Systeme berücksichtigen.