Effiziente Berechnung der Verschränkungsenergie von quantenmechanischen Zuständen

Core Concepts

Wir zeigen, dass es einen effizienten Algorithmus gibt, um die Verschränkungsenergie eines quantenmechanischen Zustands über jeden beliebigen Schnitt der Qubits zu schätzen. Die Genauigkeit der Schätzung hängt von der Stabilisatorstruktur des Zustands ab.

Abstract

Die Arbeit untersucht den Zusammenhang zwischen Pseudoverschränkung und nicht-Clifford-Komplexität. Es wird ein Algorithmus präsentiert, der die Verschränkungsenergie eines quantenmechanischen Zustands über jeden beliebigen Schnitt der Qubits effizient schätzen kann.

Der Algorithmus nutzt die Struktur des Stabilisatorraums des Zustands aus, um obere und untere Schranken für die Verschränkungsenergie zu berechnen. Wenn der Zustand von mindestens 2^(n-t) Pauli-Operatoren stabilisiert wird, dann liefert der Algorithmus eine Schätzung, die maximal t/2 Bit vom tatsächlichen Wert abweicht.

Als Anwendung wird gezeigt, dass Pseudoverschränkung eine lineare Anzahl an nicht-Clifford-Gattern erfordert. Dieser Beweis nutzt den präsentierten Algorithmus zur Entropieabschätzung aus. Die Ergebnisse zeigen, dass Pseudoverschränkung ähnlich aufwendig ist wie Pseudozufälligkeit.

Stats

Die Verschränkungsenergie S(ρA) eines n-Qubit-Zustands ρ über den Schnitt (A, B) ist durch folgende Ungleichungen beschränkt:
dim (Weyl(|ψ⟩)) - dim (Weyl(|ψ⟩)B) - |A| ≤ S(ρA) ≤ |A| - dim (Weyl(|ψ⟩)A)

Quotes

"Wir zeigen, dass jeder pseudoverschränkte Zustandsensemble mit einer Lücke von t Bit Entropie Ω(t) nicht-Clifford-Gatter zum Erzeugen benötigt."
"Unser Ergebnis folgt aus einem Polynomzeit-Algorithmus zur Schätzung der Verschränkungsentropie eines Quantenzustands über jeden beliebigen Schnitt von Qubits."

Key Insights Distilled From

Pseudoentanglement Ain't Cheap

by Sabee Grewal... at arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.00126.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich der Algorithmus zur Entropieabschätzung auf andere Maße der Quantenkomplexität wie z.B. die Tiefe des Quantenkreises erweitern

Um den Algorithmus zur Entropieabschätzung auf andere Maße der Quantenkomplexität wie die Tiefe des Quantenkreises zu erweitern, könnte man eine ähnliche Analyse durchführen, um die Anzahl der nicht-Clifford-Gatter, die für die Erzeugung des Zustands benötigt werden, abzuschätzen. Anstatt sich auf die Stabilisatorgröße zu konzentrieren, könnte man sich auf die Anzahl der Gatter in einem Quantenkreis konzentrieren, die nicht der Clifford-Gruppe angehören. Durch die Anpassung des Algorithmus und der Analyse könnte man dann eine untere Schranke für die Anzahl der nicht-Clifford-Gatter ableiten, die für die Erzeugung eines Zustands mit einer bestimmten Entropie erforderlich sind.

Welche anderen kryptographischen Objekte, neben Pseudozufälligkeit und Pseudoverschränkung, zeigen ähnliche Komplexitätsschranken in Bezug auf nicht-Clifford-Gatter

Neben Pseudozufälligkeit und Pseudoverschränkung zeigen auch andere kryptographische Objekte ähnliche Komplexitätsschranken in Bezug auf nicht-Clifford-Gatter. Ein Beispiel hierfür sind pseudorandome Quantenzustände, die Ensembles von Quantenzuständen sind, die nicht von Haar-zufälligen Zuständen unterschieden werden können. Ähnlich wie bei Pseudoverschränkung erfordern pseudorandome Quantenzustände eine bestimmte Anzahl von nicht-Clifford-Gattern für ihre Erzeugung. Diese Objekte haben ähnliche Komplexitätseigenschaften, da sie auf kryptographischen Annahmen beruhen und eine gewisse Schwierigkeit bei der Unterscheidung von zufälligen Zuständen aufweisen.

Welche Implikationen haben die Ergebnisse dieser Arbeit für die Beziehung zwischen Verschränkung und Quantenkomplexität im Allgemeinen

Die Ergebnisse dieser Arbeit haben wichtige Implikationen für die Beziehung zwischen Verschränkung und Quantenkomplexität im Allgemeinen. Sie zeigen, dass die Erzeugung von Zuständen mit bestimmten Entropieeigenschaften eine Mindestanzahl von nicht-Clifford-Gattern erfordert. Dies deutet darauf hin, dass die Verschränkung eines Quantenzustands eng mit der Anzahl und Art der Gatter verbunden ist, die für seine Erzeugung benötigt werden. Darüber hinaus legen die Ergebnisse nahe, dass die Quantenkomplexität eines Zustands, gemessen anhand der Anzahl der nicht-Clifford-Gatter, eine wichtige Rolle bei der Charakterisierung seiner Verschränkung spielt. Dies trägt zu einem besseren Verständnis der Beziehung zwischen Verschränkung und Quantenkomplexität bei und kann zu weiteren Erkenntnissen über die Natur quantenphysikalischer Systeme führen.