Einheitliche Bedingungen für die Stabilität in vorgegebener Zeit für nichtlineare Systeme mit Lyapunov-Analyse

Core Concepts

Eine einheitliche Lyapunov-Theorie wird entwickelt, um die Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit für eine Klasse autonomer Systeme zu garantieren. Die Theorie vereinheitlicht und erweitert bestehende Lyapunov-basierte Theoreme zur Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit.

Abstract

Der Beitrag präsentiert eine einheitliche Lyapunov-Theorie, um die Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit für autonome Systeme zu garantieren. Zunächst wird ein Lyapunov-Theorem abgeleitet, das hinreichende Bedingungen für die Stabilität in vorgegebener Zeit definiert. Dieses Theorem vereinheitlicht und erweitert bestehende Lyapunov-basierte Theoreme zur Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit aus der Literatur. Anschließend wird das Theorem verwendet, um einen nichtsingulären Gleitmoden-Regelungsansatz für ein Euler-Lagrange-System zu entwerfen, der dessen Stabilität in vorgegebener Zeit garantiert. Die Wirksamkeit des Ansatzes wird durch Monte-Carlo-Simulationen verifiziert.

Stats

Die Konvergenzzeit T des Systems ist durch T ≤ Tc beschränkt, wobei Tc die vorgegebene Zeitkonstante ist. Die Konvergenzzeit T des Systems ist durch T ≤ (ψ(V0) - a) Tc beschränkt, wobei ψ(V) eine streng monoton steigende oder fallende Funktion ist und a deren Minimum.

Quotes

"Eine einheitliche Lyapunov-Theorie wird entwickelt, um die Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit für eine Klasse autonomer Systeme zu garantieren." "Das Theorem vereinheitlicht und erweitert bestehende Lyapunov-basierte Theoreme zur Stabilität in vorgegebener Zeit/endlicher Zeit."

Key Insights Distilled From

Unified Predefined-time Stability Conditions of Nonlinear Systems with Lyapunov Analysis

by Bing Xiao,Ha... at arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.01164.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich die Theorie auf stochastische nichtlineare Systeme erweitern?

Die Erweiterung der Theorie auf stochastische nichtlineare Systeme beinhaltet die Integration von Zufallsvariablen und Unsicherheiten in die Stabilitätsanalyse und Regelungsentwürfe. Stochastische Systeme erfordern die Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistischen Eigenschaften, um die Stabilität in vorgegebener Zeit zu gewährleisten. Dies kann durch die Anwendung von stochastischen Lyapunov-Funktionen und probabilistischen Methoden erfolgen, um die Auswirkungen von Störungen und Unsicherheiten auf das Systemverhalten zu analysieren. Darüber hinaus können Techniken wie stochastische Regelung und adaptive Regelung eingesetzt werden, um die Stabilität und Leistungsfähigkeit stochastischer Systeme zu verbessern.

Welche Herausforderungen ergeben sich bei der praktischen Umsetzung der Regelung für komplexe technische Systeme?

Die praktische Umsetzung der Regelung für komplexe technische Systeme kann mit verschiedenen Herausforderungen verbunden sein. Dazu gehören: Modellunsicherheiten: Komplexe technische Systeme können nichtlineare und sich verändernde Dynamiken aufweisen, was zu Unsicherheiten in den mathematischen Modellen führt. Die Regelung muss robust gegenüber diesen Unsicherheiten sein. Sensorrauschen und Messfehler: Die Zuverlässigkeit von Sensordaten kann durch Rauschen und Messfehler beeinträchtigt werden, was die Regelungsgenauigkeit beeinflusst. Echtzeitimplementierung: Die Implementierung von Regelungsalgorithmen in Echtzeit erfordert schnelle Berechnungen und eine effiziente Hardware, um die Systemstabilität zu gewährleisten. Komplexität des Systems: Die Interaktion mehrerer Komponenten und Subsysteme in komplexen technischen Systemen kann die Regelungsaufgabe erschweren, da die Systemdynamik nicht trivial ist. Anforderungen an die Leistung: Komplexe technische Systeme haben oft strenge Leistungsanforderungen, wie schnelle Reaktionszeiten oder präzise Regelung, die eine sorgfältige Auslegung der Regelung erfordern.

Welche Verbindungen bestehen zwischen der Stabilität in vorgegebener Zeit und der optimalen Steuerung nichtlinearer Systeme?

Die Stabilität in vorgegebener Zeit und die optimale Steuerung nichtlinearer Systeme sind eng miteinander verbunden, da beide Konzepte darauf abzielen, das Systemverhalten innerhalb einer bestimmten Zeit zu steuern und zu stabilisieren. Die Stabilität in vorgegebener Zeit bezieht sich darauf, dass das System innerhalb einer festgelegten Zeitgrenze stabilisiert wird, unabhängig von den Anfangsbedingungen. Dies kann durch die Verwendung von Lyapunov-Funktionen und speziellen Regelungsalgorithmen erreicht werden. Auf der anderen Seite zielt die optimale Steuerung darauf ab, die Systemleistung zu optimieren, indem ein bestimmtes Leistungskriterium minimiert oder maximiert wird. Dies kann durch die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen unter Berücksichtigung der Systemdynamik und der Leistungsziele erfolgen. In vielen Fällen werden Methoden der optimalen Steuerung verwendet, um die Stabilität in vorgegebener Zeit zu erreichen und gleichzeitig die Systemleistung zu optimieren. Durch die Integration dieser Konzepte können nichtlineare Systeme effizient gesteuert und stabilisiert werden.