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Robuste Stabilisierung in endlicher Zeit linearer Systeme mit begrenzter Zustandsquantisierung


Core Concepts
Lineare zeitinvariante Systeme können durch eine nichtlineare Rückkopplung mit einem Quantisierer mit begrenzter (endlicher) Anzahl von Werten (Quantisierungssamen) in endlicher Zeit auf Null stabilisiert werden, auch wenn alle Parameter des Reglers und des Quantisierers zeitinvariant sind.
Abstract
Der Artikel untersucht die robuste asymptotische Stabilisierung eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems durch eine statische Rückkopplung mit einer statischen Zustandsquantisierung. Es wird gezeigt, dass das steuerbare LTI-System durch Verwendung einer nichtlinearen Rückkopplung mit einem Quantisierer mit begrenzter (endlicher) Anzahl von Werten (Quantisierungssamen) in endlicher Zeit auf Null stabilisiert werden kann, auch wenn alle Parameter des Reglers und des Quantisierers zeitinvariant sind. Das Regelungsdesign basiert auf verallgemeinerter Homogenität. Ein homogener sphärischer Quantisierer wird eingeführt. Die statische homogene Rückkopplung wird als lokaler (oder globaler) Stabilisator in endlicher Zeit für das lineare System nachgewiesen (abhängig von der Systemmatrix). Die Abstimmregeln sowohl für den Quantisierer als auch für das Rückführungsgesetz werden in Form von linearen Matrixungleichungen (LMIs) erhalten. Das Regelkreissystem wird als robust gegenüber einigen begrenzten übereinstimmenden und verschwindenden nicht übereinstimmenden Störungen nachgewiesen. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Simulationen unterstützt.
Stats
Das lineare zeitinvariante System hat die Systemmatrix A = [0 2 3; 0 0 4; 0 0 0] und die Eingangsmatrix B = [0; 0; 1.5]. Die Störung ist gegeben durch g(x, t) = B(0.2 sin(t)). Der Anfangszustand ist x0 = [2, 1, 1]^T.
Quotes
"Lineare zeitinvariante Systeme können durch eine nichtlineare Rückkopplung mit einem Quantisierer mit begrenzter (endlicher) Anzahl von Werten (Quantisierungssamen) in endlicher Zeit auf Null stabilisiert werden, auch wenn alle Parameter des Reglers und des Quantisierers zeitinvariant sind." "Das Regelungsdesign basiert auf verallgemeinerter Homogenität." "Die statische homogene Rückkopplung wird als lokaler (oder globaler) Stabilisator in endlicher Zeit für das lineare System nachgewiesen (abhängig von der Systemmatrix)."

Deeper Inquiries

Wie könnte man die optimale Aufteilung der Einheitssphäre für den homogenen sphärischen Quantisierer finden?

Um die optimale Aufteilung der Einheitssphäre für den homogenen sphärischen Quantisierer zu finden, könnte man verschiedene Ansätze verfolgen. Eine Möglichkeit wäre die Verwendung von Optimierungsalgorithmen, die darauf abzielen, die Quantisierungszellen auf der Einheitssphäre so zu platzieren, dass die Quantisierungsfehler minimiert werden. Dies könnte durch die Minimierung einer geeigneten Kostenfunktion erreicht werden, die die Abweichung zwischen den quantisierten Werten und den tatsächlichen Werten berücksichtigt. Eine andere Methode könnte die Verwendung von Clustering-Algorithmen sein, um die Einheitssphäre in Cluster aufzuteilen, die als Quantisierungszellen dienen. Durch die Anpassung der Clustergrößen und -positionen könnte eine optimale Aufteilung erreicht werden.

Wie kann man das Chattern des Stellsignals, das durch die Diskontinuität am Ursprung entsteht, abschwächen?

Um das Chattern des Stellsignals, das durch die Diskontinuität am Ursprung entsteht, abzuschwächen, könnten verschiedene Ansätze verfolgt werden. Eine Möglichkeit wäre die Verwendung von Glättungstechniken, um die Diskontinuität zu mildern. Dies könnte durch die Anwendung von Filtern oder Reglern erfolgen, die das Stellsignal glätten und somit das Chattern reduzieren. Eine andere Methode könnte die Verwendung von Hysterese sein, um die Diskontinuität zu überbrücken und so das Chattern zu verringern. Darüber hinaus könnte die Verfeinerung der Quantisierungsalgorithmen dazu beitragen, das Chattern zu reduzieren, indem die Quantisierungsfehler minimiert werden.

Welche anderen Anwendungen könnte die Theorie der homogenen Systeme in der Regelungstechnik noch haben?

Die Theorie der homogenen Systeme hat in der Regelungstechnik eine Vielzahl von Anwendungen über die in der vorliegenden Studie diskutierten hinaus. Einige weitere Anwendungen könnten sein: Robuste Regelung: Die homogene Stabilisierung kann dazu beitragen, robuste Regelungssysteme zu entwerfen, die unempfindlich gegenüber Störungen und Unsicherheiten sind. Adaptive Regelung: Die Homogenitätseigenschaften können in adaptiven Regelungssystemen genutzt werden, um sich verändernde Systemdynamiken zu berücksichtigen und anzupassen. Nichtlineare Regelung: Die Konzepte der Homogenität können auf nichtlineare Systeme angewendet werden, um stabilisierende Regelgesetze zu entwerfen, die auch für komplexe Systeme geeignet sind. Optimale Regelung: Die Homogenitätseigenschaften können in der optimalen Regelung genutzt werden, um die Leistung von Regelungssystemen zu maximieren und die Kosten zu minimieren. Netzwerkregelung: In der Netzwerkregelung können homogene Systeme dazu beitragen, die Kommunikation und Koordination zwischen verteilten Systemen zu verbessern und die Stabilität des Gesamtsystems zu gewährleisten.
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