Spektrale Darstellung von zweiseitigen Signalen aus ℓ∞ und Anwendungen in der Signalverarbeitung

Core Concepts

Die Arbeit präsentiert eine spektrale Darstellung für allgemeine zweiseitige diskrete Zeitsignale aus ℓ∞ und erweitert die Begriffe von Transferfunktionen, Spektrallücken und Filtern auf diese Signale.

Abstract

Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Bedeutung der Frequenzdomäne für die Signalverarbeitung. Sie erläutert die Fourier- und Laplace-Transformation für kontinuierliche Signale sowie die Z-Transformation für diskrete Signale. Die spektrale Darstellung für allgemeine zweiseitige Signale aus ℓ∞ wird vorgestellt, wobei Überlegungen zu Dämpfungstransformationen und Spektrumdegenerationen angestellt werden. Es werden Transferfunktionen, Spektrallücken und Filter für diese Signale diskutiert. Darüber hinaus werden Frequenzbedingungen für Vorhersagbarkeit und Datenwiederherstellung präsentiert.

Stats

Für r ∈ [1, ∞) bezeichnet ℓr die Menge aller Prozesse (Signale) x: Z → C, sodass ∥x∥ℓr := supt∈Z |x(t)|r
1/r < +∞.
Let T := {z ∈ C : |z| = 1}, D := {z ∈ C : |z| > 1}, und ¯D := {z ∈ C : |z| ≥ 1}.
Es wird eine spektrale Lücke definiert als D ⊂ [−π, π] mit nichtleerem Inneren, sodass x ∈ ℓ∞ mit ⟨Fx, f⟩ = 0 für f ∈ C, wobei f|[−π,π]\D ≡ 0.

Quotes

"Die spektrale Darstellung ermöglicht es, Signale aus ℓ∞ mit Spektrallücken zu beschreiben, wie z.B. bandbegrenzte Prozesse."
"Transferfunktionen können auf allgemeine zweiseitige Prozesse aus ℓ∞ angewendet werden, die nicht gegen ±∞ verschwinden."

Key Insights Distilled From

Spectral representation of two-sided signals from $\ell_\infty$ and applications to signal processing

by Nikolai Doku... at arxiv.org 03-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.10316.pdf

Deeper Inquiries

Kann die spektrale Darstellung für allgemeine Signale aus ℓ∞ auf kontinuierliche Zeitsignale erweitert werden?

Die spektrale Darstellung für allgemeine Signale aus ℓ∞ kann nicht direkt auf kontinuierliche Zeitsignale übertragen werden, da die Existenz eines kontinuierlichen Zeitanalogs des Raums C unklar ist. Es müsste eine separierbare Banachraumstruktur für Funktionen auf R definiert werden, die die Funktionen {ei·t}t∈R darin einschließt und das Analogon von Lemma 1 erfüllt. Dies stellt eine Herausforderung dar, da die speziellen Eigenschaften von diskreten Signalen aus ℓ∞ möglicherweise nicht direkt auf kontinuierliche Signale übertragbar sind.

Welche Auswirkungen haben Dämpfungstransformationen auf die Datenwiederherstellung und Vorhersage von Signalen?

Dämpfungstransformationen, die beispielsweise eine Signalverstärkung mit einer exponentiellen Dämpfung kombinieren, können dazu führen, dass Signale aus ℓ∞ in den Raum ℓ1 transformiert werden, ohne Informationsverlust. Allerdings können solche Transformationen die Spektrumdegenereszenz beeinträchtigen, die häufig bei der Datenwiederherstellung und Vorhersage für die Signalverarbeitung genutzt wird. Dies könnte die Effektivität von Vorhersagealgorithmen und Datenwiederherstellungsmethoden beeinträchtigen, da die Degenereszenz im Spektrum wichtige Informationen enthält.

Ist die Klasse der vorhersagbaren/wiederherstellbaren Prozesse überall dicht im Raum ℓ∞, ähnlich wie im Raum ℓ2?

Die Klasse der vorhersagbaren/wiederherstellbaren Prozesse ist nicht notwendigerweise überall dicht im Raum ℓ∞, ähnlich wie im Raum ℓ2. Während im Raum ℓ2 die Menge der bandbegrenzten Prozesse überall dicht ist, kann dies für ℓ∞ nicht garantiert werden. Die Dichte hängt von den spezifischen Eigenschaften der Signale und deren Spektrumcharakteristika ab. Es ist wichtig, die spezifischen Bedingungen und Eigenschaften der Signale zu berücksichtigen, um festzustellen, ob die Klasse der vorhersagbaren/wiederherstellbaren Prozesse überall dicht im Raum ℓ∞ ist.