Core Concepts
Die Gleichgewichtsstrategien für den Verfolger und den langsameren Ausweicher auf einer Kugel werden hergeleitet. Es wird eine Bedingung gefunden, unter der der Schnittpunkt der Gleichgewichtsstrategien in der Apollonischen Domäne liegt.
Abstract
Der Artikel untersucht ein Verfolgung-Ausweichen-Differentialspiel auf einer Kugel, bei dem ein schnellerer Verfolger (P) einen langsameren Ausweicher (E) verfolgt. Die Autoren leiten die Gleichgewichtsstrategien für P und E her und untersuchen die Beziehung des resultierenden Schnittpunkts zu der Apollonischen Domäne auf der Kugel.
Zunächst wird die Kinematik der Spieler auf der Kugeloberfläche beschrieben. Dann werden mithilfe der Hamilton-Jacobi-Isaacs-Gleichung die Gleichgewichtsstrategien für P und E hergeleitet, die den Fang-Zeitpunkt minimieren bzw. maximieren. Für den Sonderfall, in dem P und E sich auf gegenüberliegenden Seiten der Kugel befinden, wird eine zusätzliche Analyse unter Verwendung der Verlustrate durchgeführt, um eindeutige Gleichgewichtsstrategien zu erhalten.
Anschließend wird untersucht, unter welchen Bedingungen der Schnittpunkt der Gleichgewichtsstrategien in der Apollonischen Domäne liegt. Dafür wird die Geometrie der Apollonischen Domäne auf der Kugel analysiert. Es zeigt sich, dass der Schnittpunkt nur dann in der Apollonischen Domäne liegt, wenn der Anfangsabstand zwischen P und E unterhalb eines kritischen Werts liegt.
Abschließend werden Anwendungen der Ergebnisse auf Szenarien mit mehreren Verfolgern diskutiert.
Stats
Die Zeit bis zur Ergreifung beträgt τ* = Rα/(1-μ)vP, wobei R der Kugelradius, α der Winkelabstand zwischen P und E und μ das Geschwindigkeitsverhältnis zwischen E und P ist.
Quotes
"Für den Sonderfall, in dem P und E sich auf gegenüberliegenden Seiten der Kugel befinden, wird eine zusätzliche Analyse unter Verwendung der Verlustrate durchgeführt, um eindeutige Gleichgewichtsstrategien zu erhalten."
"Es zeigt sich, dass der Schnittpunkt nur dann in der Apollonischen Domäne liegt, wenn der Anfangsabstand zwischen P und E unterhalb eines kritischen Werts liegt."