Fisher-Rao Distance: Closed-Form Expressions Survey

Core Concepts

Focusing on closed-form expressions for the Fisher-Rao distance in various probability distributions.

Abstract

確率分布間のFisher-Rao距離の閉形式表現に焦点を当てた調査。統計的なマニホールド上でのFisherメトリックに基づく確率分布間の測地距離。数式や幾何学的概念を用いて、閉形式表現を見つけることが非自明であることが強調されています。

Stats

n = {0, 1, 2, ...} N∗ = {1, 2, 3, ...} R+ = [0, ∞[ R∗+ = ]0, ∞[ Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, CNRS, France. E-mail: [e-mail]. IMECC, Unicamp, Brazil. E-mail: [e-mail]. CETEC, UFRB, Brazil. E-mail: [e-mail] arXiv:2304.14885v2 [math.ST] 27 Feb 2024 Binomial distribution: p(x) = nCx θ^x(1 - θ)^(n-x) g11(θ) = nθ(1-θ) dFR(θ1, θ2) = 2√n arcsin √θ1 - arcsin √θ2 Poisson distribution: p(x) = λ^x e^-λ/x! g11(λ) = 1/λ dFR(λ1, λ2) = 2 √λ1 - √λ2 Geometric distribution: p(x) = θ(1 - θ)^(x-1) g11(θ) = 1/θ^2(1-θ) dFR(θ1, θ2) = 2 arctanh √1 - θ1 - arctanh √1 - θ2 Negative binomial distribution: p(x) = (x+r-1)!/(r-1)! r^x θ^r (1 - θ)^x g11(θ) = r/θ^2 (1-θ) dFR(θ1, θ2) = 2√r arctanh √1 - θ_! - arctanh √_!_! Categorical distribution: p(x) = P_i p_i * δ_ij + (P_n p_n)^(-i,j) g_ij(ξ) = δ_ij * p_i + n/(pn + n)*δ_ij dFR(p_!, p_!)= 2 arccos P_i sqrt(piqi) Multinomial distribution: p(x!)=(n!)/(Q_n i=pi x_i /xi!) g_ij(xi)= xidelta_ijpi+(n/pi+n)*delta_ij dFR(xi_, xi_)= sqrt(n)*arccos P_i sqrt(piqi) Negative multinomial distribution: p(x^n)=xn!/Γ(P_n i=xi x_i)/Γ(x_n)Q_(n-)_i=pixi/xi! gij(xi)=xideltaij*pipn+xi/p^(i)n+pni,j dFR(xi, xi_)=sqrt(xi)*arccosh((sqrt(piqi)/sqrt(pnqn))

Quotes

Key Insights Distilled From

On Closed-Form Expressions for the Fisher-Rao Distance

by Henr... at arxiv.org 02-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2304.14885.pdf

Deeper Inquiries

異なる確率分布間のFisher-Rao距離はどのように比較されますか？

異なる確率分布間のFisher-Rao距離は、それらの確率分布が統計的多様体上に存在すると考えられ、その幾何学的性質を利用して比較されます。具体的には、各確率分布をパラメータで表現し、そのパラメータ空間内での最小距離（geodesic distance）を求めることでFisher-Rao距離が定義されます。この最小距離は、各確率分布間を結ぶ最短経路（geodesic）の長さとして解釈されます。そして、この手法によって異なる確率分布間のFisher-Rao距離が数値化および比較されます。

この研究が実務や産業への応用にどのように貢献する可能性がありますか

この研究が実務や産業への応用にどのように貢献する可能性がありますか？ この研究では、異なる種類の確率分布間で閉形式表現を見つけ出すことやその幾何学的性質を探求することが主眼です。これら閉形式表現や幾何学的理解は機械学習アルゴリズムやデータ解析手法へ直接応用可能です。例えば、教師あり・教師なし学習問題で使用されているFisher-Rao距離は特徴量抽出やクラスタリングアルゴリズム向けに有益です。また、新たな数値計算手法やツール開発も期待されるため、これら成果はデータサイエンス領域全般へ貢献する可能性があります。

確率分布間の幾何学的距離と機械学習アルゴリズムとの関係は何ですか

確率分布間の幾何学的距離と機械学習アルゴリズムとの関係は何ですか？ 確率分布間の幾何学的距離（例：Fisher-Rao距離）はデータポイント同士またはクラスター同士を効果的に比較しグループ化する際に重要です。これら幾何学的尺度から得られた情報は特徴量選択や次元削減方法向け有益であり、「似ている」データポイント同士を近く配置し、「異なる」データポイント同士を遠ざけて配置します。 したがって，機機会器算学術りごありごまりごんきそくちょうしきじっそんきそくちょうしきじっそん おおわせいます．