Analyse der Stichprobenkomplexität des Gradientenabstiegs in der stochastischen konvexen Optimierung

Core Concepts

Der Generalisierungsfehler des Gradientenabstiegs mit optimaler Wahl der Hyperparameter kann ˜Θ(d/m + 1/√m) betragen, wobei d die Dimension und m die Stichprobengröße sind. Dies entspricht der Stichprobenkomplexität von worst-case empirischen Risikominimierern. Das bedeutet, dass der Gradientanabstieg im Gegensatz zu anderen Algorithmen keinen Vorteil gegenüber naiven empirischen Risikominimierern hat.

Abstract

Die Studie analysiert die Stichprobenkomplexität des Gradientenabstiegs (GD) im Rahmen der nicht-glatten stochastischen konvexen Optimierung. Es wird gezeigt, dass der Generalisierungsfehler von GD mit (Minimax-)optimaler Wahl der Hyperparameter ˜Θ(d/m + 1/√m) betragen kann, wobei d die Dimension und m die Stichprobengröße sind. Dies entspricht der Stichprobenkomplexität von worst-case empirischen Risikominimierern. Der Beweis basiert auf einer neuen Verallgemeinerungsschranke, die sowohl von der Dimension als auch von der Lernrate und der Anzahl der Iterationen abhängt. Die Schranke zeigt auch, dass für allgemeine Hyperparameter, wenn die Dimension strikt größer als die Anzahl der Stichproben ist, T = Ω(1/ε^4) Iterationen erforderlich sind, um Overfitting zu vermeiden. Dies löst ein offenes Problem von Amir, Koren und Livni [3], Schliserman, Sherman und Koren [20] und verbessert frühere untere Schranken, die zeigten, dass die Stichprobengröße mindestens die Quadratwurzel der Dimension betragen muss.

Stats

Wenn d ≥ m, dann ist der Generalisierungsfehler von GD Ω(d/m + 1/√m). Wenn T = O(m^1.5) und η = Θ(1/√T), dann ist der Generalisierungsfehler von GD Ω(min{d/m + 1/√m, 1}).

Quotes

"Der Generalisierungsfehler von GD, mit (Minimax-)optimaler Wahl der Hyperparameter, kann ˜Θ(d/m + 1/√m) betragen." "Dies entspricht der Stichprobenkomplexität von worst-case empirischen Risikominimierern." "Das bedeutet, dass der Gradientanabstieg im Gegensatz zu anderen Algorithmen keinen Vorteil gegenüber naiven empirischen Risikominimierern hat."

Key Insights Distilled From

The Sample Complexity of Gradient Descent in Stochastic Convex Optimization

by Roi Livni at arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04931.pdf

Deeper Inquiries

Gibt es eine Verallgemeinerungsschranke für GD, so dass der Erwartungswert des Generalisierungsfehlers O((dη/√T)/m + 1/√m) ist

Ja, gemäß dem Theorem 1 gibt es eine Verallgemeinerungsschranke für Gradient Descent (GD), die besagt, dass der Erwartungswert des Generalisierungsfehlers ungefähr Θ((dη/√T)/m + 1/√m) beträgt. Dies bedeutet, dass der Generalisierungsfehler von GD in Bezug auf die Dimension, die Lernrate und die Anzahl der Iterationen abhängt. Diese Schranke zeigt, wie sich der Generalisierungsfehler von GD im Vergleich zur Dimension und anderen Hyperparametern verhält.

Gibt es Wahl von η und T (die von m abhängen), so dass η*T/m ∈ Ω(1) ist, aber GD eine dimensionsunabhängige Stichprobenkomplexität hat

Es gibt keine Wahl von η und T, die von m abhängen, so dass ηT/m ∈ Ω(1) ist und Gradient Descent (GD) eine dimensionsunabhängige Stichprobenkomplexität aufweist. Dies liegt daran, dass die Stichprobenkomplexität von GD auch von der Dimension abhängt und nicht vollständig unabhängig von ihr ist. Die Stichprobenkomplexität von GD wird durch die Wahl von η, T und anderen Hyperparametern beeinflusst, was bedeutet, dass eine dimensionsunabhängige Stichprobenkomplexität nicht möglich ist, wenn ηT/m ∈ Ω(1) ist.

Wenn f(w, z) Θ(1)-glatt ist, was ist dann die Stichprobenkomplexität von GD, wenn η und T so gewählt werden, dass η + 1/(ηT) = o(1), aber ηT/m = Ω(1) ist

Wenn f(w, z) Θ(1)-glatt ist und η sowie T so gewählt werden, dass η + 1/(ηT) = o(1) und ηT/m = Ω(1) ist, dann ist die Stichprobenkomplexität von Gradient Descent (GD) abhängig von der Lernrate, der Anzahl der Iterationen und der Anzahl der Stichproben. In diesem Szenario wird die Stichprobenkomplexität von GD durch die Interaktion dieser Hyperparameter bestimmt, wobei die Glätte der Funktion f(w, z) ebenfalls berücksichtigt wird. Die Stichprobenkomplexität von GD wird durch die Wahl von η, T und m beeinflusst, wobei eine ausgewogene Abstimmung dieser Parameter erforderlich ist, um eine effiziente Optimierung zu gewährleisten.