Core Concepts
Wir präsentieren einen neuartigen Ansatz zur Approximation der Verteilung eines nichtlinearen stochastischen Systems über einen endlichen Zeithorizont durch eine Mischverteilung. Unser Ansatz bietet formale Garantien für die Korrektheit der Approximation, indem er Schranken für den Gesamtvariationsabstand zwischen der tatsächlichen Systemverteilung und der approximierenden Mischverteilung ableitet.
Abstract
In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf diskrete-Zeit-Systeme mit nichtlinearen stochastischen Dynamiken. Wir präsentieren einen neuartigen Ansatz, um die Verteilung des Systems über einen endlichen Zeithorizont durch eine Mischverteilung zu approximieren. Der Schlüssel unseres Ansatzes ist, dass er nicht nur praktikable Approximationen für die Verteilung eines nichtlinearen stochastischen Systems liefert, sondern auch mit formalen Korrektheitssicherheiten einhergeht.
Insbesondere betrachten wir den Gesamtvariationsabstand (TV), um den Abstand zwischen zwei Verteilungen zu quantifizieren, und leiten eine obere Schranke für den TV zwischen der Verteilung des Originalsystems und der approximierenden Mischverteilung ab. Wir zeigen, dass in verschiedenen Fällen von Interesse, einschließlich des Falles von Gaußschem Rauschen, die resultierende Schranke effizient in geschlossener Form berechnet werden kann. Dies ermöglicht es uns, die Korrektheit der Approximation zu quantifizieren und die Parameter der resultierenden Mischverteilung zu optimieren, um diesen Abstand zu minimieren.
Die Wirksamkeit unseres Ansatzes wird anhand mehrerer Benchmarks aus der Regelungstechnik veranschaulicht.
Stats
Die Verteilung des Systems zum Zeitpunkt t kann durch die folgende Chapman-Kolmogorov-Gleichung beschrieben werden:
pxt(y) = ∫Rd p(y | x)pxt−1(x)dx.
Leider ist diese Gleichung in den meisten Fällen von Interesse nicht in geschlossener Form lösbar.
Quotes
"Unsicherheitsausbreitung in nichtlinearen stochastischen Systemen ist zu einem Schlüsselproblem in verschiedenen Bereichen wie Regelungstheorie und Maschinelles Lernen geworden."
"Unser Ziel in dieser Arbeit ist es, eine approximierende Mischverteilung ˆPxt zu entwerfen, die der tatsächlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung Pxt nahe ist, aber auch handhabbar und in geschlossener Form analytisch berechenbar ist."