Informationsgeometrische Regularisierung der baroklinen Euler-Gleichung

Core Concepts

Die Arbeit präsentiert eine neuartige, inviskose Regularisierung der mehrdimensionalen Euler-Gleichung, die auf Konzepten aus der semidefiniten Programmierung, der Informationsgeometrie, der geometrischen Hydrodynamik und der nichtlinearen Elastizität basiert. Die Regularisierung ersetzt die euklidische Geometrie des Phasenraums durch eine geeignete Informationsgeometrie, um die Bildung von Stoßwellen zu verhindern.

Abstract

Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Schwierigkeit der Bildung von Stoßwellen in kompressiblen Strömungen. Stoßwellen zeichnen sich durch Unstetigkeiten in Geschwindigkeit und Dichte des Fluids aus und verhindern die Existenz klassischer Lösungen der kompressiblen Euler-Gleichungen. Schwache "Entropie"-Lösungen werden üblicherweise durch viskose Regularisierung definiert, aber selbst geringe Viskosität kann das Langzeitverhalten der Lösung erheblich verändern.
Die Arbeit präsentiert die erste inviskose Regularisierung der mehrdimensionalen Euler-Gleichung, die auf Ideen aus der semidefiniten Programmierung, der Informationsgeometrie, der geometrischen Hydrodynamik und der nichtlinearen Elastizität basiert. Aus einer Lagrange'schen Perspektive entspricht die Stoßwellenbildung in Entropielösungen inelastischen Kollisionen von Fluidpartikeln. Ihre Trajektorien ähneln denen des projizierten Gradientenabstiegs auf einer zulässigen Menge sich nicht überschneidender Pfade. Die Regularisierung ersetzt diese Trajektorien durch Lösungspfade von Innere-Punkte-Methoden, die auf logarithmischen Barrierefunktionen basieren. Diese Pfade sind Geodätenkurven in Bezug auf die durch die Barrierefunktion induzierte Informationsgeometrie.
Die Arbeit erweitert diese Idee auf unendliche Familien von Pfaden, indem sie die Euler-Gleichungen als dynamisches System auf einer Diffeomorphismenmannigfaltigkeit auffasst. Die Regularisierung bettet diese Mannigfaltigkeit in einen informationsgeometrischen Umgebungsraum ein und stattet sie mit einer geodätisch vollständigen Geometrie aus. Durch Umformulierung der resultierenden Lagrange'schen Gleichungen in Eulerscher Form wird eine regularisierte Euler-Gleichung in Erhaltungsform hergeleitet. Numerische Experimente für ein- und zweidimensionale Probleme zeigen die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.

Stats

Die Stoßwellenbildung in kompressiblen Strömungen wurde für eine Vielzahl von Strömungen bewiesen.
Schwache "Entropie"-Lösungen der Euler-Gleichungen werden üblicherweise durch Grenzwertbildung viskos regularisierter Navier-Stokes-Lösungen definiert.
Selbst geringe Viskosität kann das Langzeitverhalten der Lösung erheblich verändern.

Quotes

"Stoßwellen zeichnen sich durch Unstetigkeiten in Geschwindigkeit und Dichte des Fluids aus und verhindern die Existenz klassischer Lösungen der kompressiblen Euler-Gleichungen."
"Aus einer Lagrange'schen Perspektive entspricht die Stoßwellenbildung in Entropielösungen inelastischen Kollisionen von Fluidpartikeln."
"Die Regularisierung ersetzt diese Trajektorien durch Lösungspfade von Innere-Punkte-Methoden, die auf logarithmischen Barrierefunktionen basieren. Diese Pfade sind Geodätenkurven in Bezug auf die durch die Barrierefunktion induzierte Informationsgeometrie."

Key Insights Distilled From

Information geometric regularization of the barotropic Euler equation

by Ruij... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.14127.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich die informationsgeometrische Regularisierung auf andere Typen von Strömungsgleichungen wie die Navier-Stokes-Gleichungen erweitern

Die informationsgeometrische Regularisierung kann auf andere Typen von Strömungsgleichungen wie die Navier-Stokes-Gleichungen erweitert werden, indem man die Konzepte der Barrierefunktion und des geometrischen Ansatzes auf diese Gleichungen anwendet. Für die Navier-Stokes-Gleichungen, die Viskosität berücksichtigen, könnte die Barrierefunktion so gewählt werden, dass sie die Viskositätseffekte berücksichtigt und gleichzeitig die Regularität der Lösung sicherstellt. Durch die Erweiterung der Regularisierung auf die Navier-Stokes-Gleichungen können möglicherweise auch die Bildung von Turbulenzen und anderen komplexen Strömungsphänomenen besser modelliert werden.

Welche Auswirkungen hat die Wahl der Barrierefunktion auf die Eigenschaften der regularisierten Lösung

Die Wahl der Barrierefunktion hat signifikante Auswirkungen auf die Eigenschaften der regularisierten Lösung. Die Barrierefunktion beeinflusst die Geometrie des Phasenraums und bestimmt die Art und Weise, wie die Lösungspfade modelliert werden. Eine geeignete Barrierefunktion kann dazu beitragen, die Regularität der Lösung zu gewährleisten, unerwünschte Phänomene wie Schockbildung zu vermeiden und die langfristige Stabilität der Lösung zu verbessern. Darüber hinaus kann die Wahl der Barrierefunktion die Konvergenzgeschwindigkeit von numerischen Verfahren beeinflussen und die Effizienz der Regularisierungsmethode insgesamt beeinflussen.

Inwiefern können Konzepte aus der nichtlinearen Elastizität, wie die Polykonvexität, die Analyse der informationsgeometrischen Regularisierung unterstützen

Konzepte aus der nichtlinearen Elastizität, insbesondere die Polykonvexität, können die Analyse der informationsgeometrischen Regularisierung unterstützen, indem sie eine mathematische Grundlage für die Regularisierungsmethode bieten. Die Polykonvexität ermöglicht die Formulierung von Energiefunktionen, die sowohl konvex in Bezug auf die Deformationsgradienten als auch in Bezug auf die Determinanten der Deformationsgradienten sind. Dies kann dazu beitragen, die Regularität der Lösungen zu gewährleisten und die Bildung von Singularitäten zu verhindern. Darüber hinaus können Konzepte aus der nichtlinearen Elastizität dazu beitragen, die Stabilität und Konvergenz der Regularisierungsmethode zu analysieren und zu verbessern.