Effiziente Modellreduktion für Systeme mit quadratischer Ausgangsgleichung zur Erfassung der mittleren quadratischen Abweichung

Core Concepts

In dieser Arbeit wird eine neue Theorie für die Hermite-Interpolation von Frequenzbereichssystemen mit quadratischer Ausgangsgleichung entwickelt. Die vorgeschlagenen interpolationsbasierten Modellreduktionsverfahren übertreffen klassische Ansätze, die auf Linearisierungen beruhen.

Abstract

In dieser Arbeit wird die Modellreduktion von Frequenzbereichssystemen mit quadratischer Ausgangsgleichung zur Erfassung der mittleren quadratischen Abweichung (RMS-Fehler) betrachtet. Klassische Ansätze linearisieren das System, was zu einer großen Anzahl von Ausgangsgrößen führt und die Modellreduktion erschwert. Die Autoren entwickeln stattdessen eine neue Theorie für die Hermite-Interpolation von Frequenzbereichssystemen mit quadratischer Ausgangsgleichung. Basierend darauf werden mehrere interpolationsbasierte Modellreduktionsverfahren vorgestellt und mit einem Beispiel aus der Strukturdynamik evaluiert. Die neuen Methoden, die die Struktur der quadratischen Ausgangsgleichung berücksichtigen, zeigen im Vergleich zu klassischen Ansätzen deutlich genauere Approximationen des Originalsystems. Insbesondere die Petrov-Galerkin-Verfahren, die sowohl die Eingangs- als auch die Ausgangsgleichung in die Projektion einbeziehen, liefern sehr gute Ergebnisse. Darüber hinaus diskutieren die Autoren den Zusammenhang zu zeitkontinuierlichen Systemen mit quadratischer Ausgangsgleichung und zeigen, wie Konzepte aus diesem Bereich auf die hier betrachteten Frequenzbereichssysteme übertragen werden können.

Stats

Die mittlere quadratische Abweichung des Originalmodells beträgt bis zu 10^-10 im betrachteten Frequenzbereich. Die relativen Approximationsfehler der reduzierten Modelle liegen je nach Verfahren und Ordnung zwischen 10^-14 und 10^-5.

Quotes

"In dieser Arbeit präsentieren wir Modellreduktionsansätze für Systeme mit Maßen für die mittlere quadratische Abweichung im Frequenzbereich." "Wir entwickeln eine neue theoretische Grundlage für die Hermite-Interpolation solcher Systeme und zeigen in numerischen Experimenten, dass interpolationsbasierte Methoden, die auf dieser neuen Theorie basieren, klassische Ansätze, die auf Linearisierungen beruhen, übertreffen."

Key Insights Distilled From

Interpolatory model order reduction of large-scale dynamical systems with root mean squared error measures

by Sean Reiter,... at arxiv.org 03-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.08894.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die vorgestellten Konzepte auf nichtlineare Systeme mit quadratischer Ausgangsgleichung erweitert werden?

Die vorgestellten Konzepte zur Modellreduktion von linearen Systemen mit quadratischer Ausgangsgleichung können auf nichtlineare Systeme erweitert werden, indem man ähnliche Interpolations- und Reduktionsansätze auf nichtlineare Systeme anwendet. Für nichtlineare Systeme mit quadratischer Ausgangsgleichung könnte man beispielsweise eine Erweiterung der Hermite-Interpolationsbedingungen auf nichtlineare Ausgangsfunktionen in Verbindung mit geeigneten Projektionsmethoden in Betracht ziehen. Durch die Anpassung der Interpolations- und Reduktionsverfahren auf nichtlineare Systeme könnte man effektive Modelle für komplexe nichtlineare Systeme mit quadratischen Ausgangsgleichungen entwickeln.

Lässt sich ein ähnliches Optimierungsverfahren wie IRKA für die hier betrachteten Frequenzbereichssysteme entwickeln?

Ein ähnliches Optimierungsverfahren wie das Iterative Rational Krylov Algorithm (IRKA) für die betrachteten Frequenzbereichssysteme könnte entwickelt werden, um optimale Interpolationspunkte und tangentialen Richtungen zu bestimmen. Dieses Verfahren könnte auf die Frequenzbereichssysteme mit quadratischer Ausgangsgleichung angewendet werden, um die Interpolationsbedingungen zu erfüllen und die Genauigkeit der reduzierten Modelle zu verbessern. Durch die Anpassung von IRKA auf die spezifischen Anforderungen der Frequenzbereichssysteme könnte ein effizientes Optimierungsverfahren entwickelt werden, das die Konvergenz und Genauigkeit der reduzierten Modelle verbessert.

Welche Anwendungen abseits der Strukturdynamik könnten von den vorgestellten Methoden profitieren?

Abseits der Strukturdynamik könnten die vorgestellten Methoden zur Modellreduktion mit quadratischer Ausgangsgleichung in einer Vielzahl von Anwendungen nützlich sein. Ein Bereich, in dem diese Methoden Anwendung finden könnten, ist die Regelungstechnik, insbesondere bei der Modellierung und Reduktion komplexer Regelungssysteme mit nichtlinearen Ausgangsgleichungen. Darüber hinaus könnten die vorgestellten Methoden in der Akustik und Schwingungsanalyse eingesetzt werden, um präzise Modelle für vibro-akustische Systeme zu entwickeln. Auch in der Energietechnik, bei der Modellierung von Energiesystemen mit komplexen Ausgangsgleichungen, könnten diese Methoden zur Effizienzsteigerung und Genauigkeit der Modelle beitragen.