Core Concepts
In dieser Arbeit untersuchen wir Reduktionen vom Worst-Case zum Durchschnittsfall für das Problem der Matrixmultiplikation über endlichen Körpern. Wir zeigen, dass effiziente Durchschnittsfall-Algorithmen in effiziente Worst-Case-Algorithmen umgewandelt werden können, ohne einen signifikanten Overhead in der Laufzeit zu verursachen.
Abstract
Die Arbeit untersucht zwei Ergebnisse in Bezug auf Worst-Case zu Durchschnittsfall-Reduktionen für das Matrixmultiplikationsproblem:
Hohe Übereinstimmung mit zweiseitigem Fehler:
Es wird gezeigt, dass jeder Algorithmus, der das Matrixmultiplikationsproblem auf einem Großteil der Koordinaten korrekt löst, in einen Worst-Case-Algorithmus umgewandelt werden kann.
Der Beweis verwendet die Selbstkorrektur von Linearität.
Niedrige Übereinstimmung mit einseitigem Fehler:
Für den Körper F2 wird gezeigt, dass ein O(T)-Zeit-Durchschnittsfall-Algorithmus, der auf mindestens 51% der Einträge mit dem korrekten Ergebnis übereinstimmt, in einen e
O(T)-Zeit-Worst-Case-Algorithmus umgewandelt werden kann.
Der Beweis verwendet Techniken aus der additiven Kombinatorik, insbesondere eine Version des probabilistischen Bogolyubov-Ruzsa-Lemmas.
Die Arbeit diskutiert auch offene Probleme, wie die Erweiterung der Ergebnisse auf zwei-seitigen Fehler im Regime niedriger Übereinstimmung und die Verallgemeinerung der Ergebnisse auf beliebige endliche Körper.
Stats
Es gibt einen Durchschnittsfall-Algorithmus, der auf mindestens 51% der Einträge mit dem korrekten Ergebnis übereinstimmt.
Für jeden guten Eintrag (i*, j*) in der Ausgabematrix hat der Algorithmus eine Wahrscheinlichkeit von mindestens δ0, den korrekten Wert zu berechnen.
Quotes
"Worst-case to average-case reductions serve as a means to convert algorithms that output correct answers on a fraction of inputs into algorithms with correct outputs on all possible inputs."
"Suppose we have an efficient algorithm that given two random matrices A, B ∈Fn×n, computes a matrix C ∈Fn×n that agrees with the product A · B on a large fraction of the entries of the matrix. Can we transform such an algorithm into one that computes A · B correctly for all entries of the output matrix without incurring a significant overhead in the running time?"