Core Concepts
Das Berechnen der p-Präsentationsabstände für Zusammenhangskomponentenbäume und t-dimensionale Persistenzmodule ist für alle p ∈ [1, ∞) NP-hart.
Abstract
Der Artikel untersucht die Komplexität der Berechnung von p-Präsentationsabständen für Zusammenhangskomponentenbäume und mehrdimensionale Persistenzmodule.
Zunächst werden die grundlegenden Konzepte von Zusammenhangskomponentenbäumen und Persistenzmodulen eingeführt. Es wird erläutert, dass diese Objekte oft mithilfe von Interleaving-Abständen verglichen werden, aber in der Praxis häufig p-Wasserstein-Abstände für kleine p bevorzugt werden, da diese weniger empfindlich gegenüber Ausreißern sind.
Die Hauptergebnisse des Artikels sind:
Das Berechnen der p-Präsentationsabstände für Zusammenhangskomponentenbäume und t-dimensionale Persistenzmodule für t ≥ 2 ist für alle p ∈ [1, ∞) NP-hart.
Die Beweise für diese Ergebnisse folgen einer neuartigen Strategie, die vorschlägt, dass dieser Ansatz auf andere Abstände, die auf Maxima und Summen basieren, übertragen werden kann.
Die Autoren glauben, dass diese Beweise als Blaupause für den Nachweis der NP-Schwere von Abständen dienen können, die Maxima durch Summen oder p-Normen ersetzen.
Stats
Die Länge der Intervalle in den Barcodes der Zusammenhangskomponentenbäume M und N unterscheiden sich um höchstens 1.
Die Anzahl der Relationen in den Präsentationen von M und N unterscheiden sich um höchstens 1.
Quotes
"Recently, p-presentation distances for p ∈ [1, ∞] were introduced for merge trees and multiparameter persistence modules as more sensitive variations of the respective interleaving distances (p = ∞)."
"We extend this result by showing that computing the p-presentation distance is NP-hard for all p ∈ [1, ∞) for both merge trees and t-parameter persistence modules for any t ≥ 2."