Der Artikel befasst sich mit der verallgemeinerten Rangvariante (GRI), einer wichtigen Invariante für Multiparameter-Persistenzmodule. Im Gegensatz zur eindimensionalen Persistenzhomologie gibt es in der Multiparameter-Persistenzhomologie keine kanonische Methode, um "Persistenz" zu quantifizieren. Die GRI ist eine der bekanntesten Quantifizierungen der Persistenz für Multiparameter-Persistenzmodule.
Der Artikel führt das Konzept der Möbiusinvertierbarkeit der GRI ein, um folgende Fragen zu adressieren:
Die Möbiusinvertierbarkeit der GRI ermöglicht es, die Persistenzdiagramme für Multiparameter-Persistenzmodule zu definieren und die Rangzerlegung der GRI effizient zu berechnen. Außerdem wird die Möbiusinvertierbarkeit mit anderen Konzepten der strukturellen Einfachheit von Persistenzmodulen, wie Tameheit, in Beziehung gesetzt.
Für 2-Parameter-Persistenzmodule wird die Beziehung zwischen der GRI und anderen Invarianten wie dem Zigzag-Pfad-indexierten Barcode untersucht. Es wird gezeigt, dass die GRI über Intervallen und der Zigzag-Pfad-indexierte Barcode über einfachen Pfaden einander nicht bestimmen, aber dennoch abschätzen lassen.
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