Die Autoren definieren einen neuen Rahmen, der die Filtrations- und Mapper-Ansätze aus der topologischen Datenanalyse vereint und effiziente Algorithmen zu seiner Berechnung präsentiert. Dieser als Box-Filtration bezeichnete Ansatz wächst Boxen (Hyperrechtecke) anstelle von Kugeln, die nicht notwendigerweise in den Punkten zentriert sind. Das Wachstum der Boxen erfolgt nicht-uniform und asymmetrisch in verschiedenen Dimensionen basierend auf der Verteilung der Punkte. Es werden zwei Ansätze zur Handhabung der Boxen vorgestellt: eine Punktabdeckung, bei der jeder Punkt seine eigene Box zu Beginn zugewiesen bekommt, und eine Pixelabdeckung, die mit einer Pixelisierung des Raums der Punktwolke arbeitet. Jede Boxabdeckung in beiden Einstellungen liefert automatisch einen Mapper der Punktwolke. Die Autoren zeigen, dass die von der Box-Filtration erzeugten Persistenzdiagramme unter milden Annahmen die klassische Stabilität basierend auf dem Gromov-Hausdorff-Abstand erfüllen. Die Verwendung von Boxen anstelle von Kugeln impliziert auch, dass die Box-Filtration für paarweise oder höhere Ordnung Schnitte identisch ist, während die Vietoris-Rips- und Čech-Filtration nicht die gleichen sind.
Das Wachstum in jeder Dimension wird durch Lösen eines Linearprogramms berechnet, das eine Kostenfunktion optimiert, die die Kosten für die Expansion und den Nutzen des Einschließens weiterer Punkte in der Box ausbalanciert. Der Box-Filtrations-Algorithmus läuft in O(m|U(0)| log(mnπ)L(q)) Zeit, wobei m die Anzahl der betrachteten Inkrement-Schritte für das Wachstum der Box, |U(0)| die Anzahl der Boxen in der Anfangsabdeckung (maximal die Anzahl der Punkte), π die Schrittlänge, mit der jede Boxdimension inkrementiert wird, und L(q) die Zeit zum Lösen eines Linearprogramms mit q = n × |X| sind. Die Autoren präsentieren auch einen schnelleren Algorithmus, der in O(m|U(0)|kL(q)) läuft, wobei k die Anzahl der Schritte ist, die zum Finden der optimalen Box erlaubt sind.
Die Autoren zeigen anhand mehrerer Beispiele, dass die Box-Filtration robustere Ergebnisse zur Zusammenfassung der Topologie der Punktwolke liefern kann als die Vietoris-Rips- und Abstand-zur-Maß-Filtrationen.
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by Enrique Alva... at arxiv.org 04-10-2024
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