Core Concepts
2次元スカラー積を持つベクトルの集合の最大サイズは、立方体や交差多面体を除いて、ある上限を持つ。
Abstract
この論文では、2次元スカラー積を持つベクトルの集合の最大サイズに関する強い結果を示している。
まず、2次元スカラー積を持つベクトルの集合Aとベクトルの集合Bについて、その積|A||B|の上限を与える定理を証明している。この上限は、立方体や交差多面体の場合を除いて、(d-1)2^(d+1) + 8(d-1)となる。
次に、この結果を2次元多面体の頂点数と面数の積に適用し、立方体や交差多面体以外の2次元多面体では、その積の最大値が上記の上限を超えないことを示している。
証明では、ベクトルの集合の性質に関する補題を用いており、特に、ベクトルの集合の射影に着目した議論が重要な役割を果たしている。
Stats
2次元スカラー積を持つベクトルの集合Aと集合Bについて、|A||B| ≤ d2^d + 2d
2次元多面体Pの頂点数f0(P)と面数fd-1(P)について、f0(P)·fd-1(P) ≤ (d-1)2^(d+1) + 8(d-1)