クリークは係数が有界なSherali-Adamsでは平均的に困難である

Core Concepts

係数が有界なSherali-Adamsでは、最大クリークサイズがd ⩽2 log nのErdős-Rényi ランダムグラフにおいて、クリークの不存在を示すには、サイズnΩ(d)の証明が必要である。

Abstract

本論文では、Sherali-Adamsプルーフシステムにおけるクリークの平均的困難性について研究している。具体的には以下の内容が示されている:

Sherali-Adamsプルーフシステムにおいて、最大クリークサイズがd ⩽2 log nのErdős-Rényi ランダムグラフ上で、クリークの不存在を示すには、サイズnΩ(d)の証明が必要であることを示した。これは最適な下界である。
この結果を得るために、モノミアルの寄与を正確に捉える擬似計量関数を導入した。この手法は独立した興味を持つ可能性がある。
擬似計量関数は、アクシオムの寄与が小さいこと、および長方形がほぼ非負であることを示すことで定義される。
ランダムグラフが良好な性質を持つことを示すことで、主定理を導出した。

Stats

任意のモノミアルmと多項式p∈Pについて、|μ(m·p)| ⩽δが成り立つ。
任意のモノミアルmについて、μ(m) ⩾−δが成り立つ。

Quotes

"我々は、モノミアルの寄与を正確に捉える擬似計量関数を導入した。この手法は独立した興味を持つ可能性がある。"
"擬似計量関数は、アクシオムの寄与が小さいこと、および長方形がほぼ非負であることを示すことで定義される。"

Key Insights Distilled From

Clique Is Hard on Average for Sherali-Adams with Bounded Coefficients

by Susanna F. d... at arxiv.org 04-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.16722.pdf

Deeper Inquiries

クリークの平均的困難性を示す手法は、他の組合せ最適化問題にも適用できるか?

この研究で使用されたクリークの平均的困難性を示す手法は、他の組合せ最適化問題にも適用可能です。この手法は、平均的なケースでの問題の難しさを証明するために特定の証明システムを使用し、その証明のサイズを下限として示すものです。この手法は、クリーク問題に限らず、他の組合せ最適化問題にも適用できます。他の問題においても、同様の証明システムを使用して平均的な難しさを示すことが可能です。この手法は、組合せ最適化問題の平均的な難しさを理解し、証明するための有力なツールとなり得ます。