有限オートマトンを使用して、ベース-bの表現における黄金比およびその他の二次無理数の計算

Core Concepts

有限オートマトンを使用して、ベース-bの表現における黄金比およびその他の二次無理数の桁を計算できる。

Abstract

本論文では、有限オートマトンを使用して、ベース-bの表現における黄金比およびその他の二次無理数の桁を計算する方法を示している。
まず、ゼッケンドルフ表現を用いて、bn (nの基数bの表現)の入力から、黄金比の第n桁を出力するDFAOを構築する。これは、ゼッケンドルフ表現とゼッケンドルフ表現の左シフトの関係を利用することで実現できる。
同様の手法は、任意の二次無理数に対して適用できる。ペル数表現やオストロフスキー表現を使うことで、他の二次無理数の桁も計算できる。
SAT ソルバを使って、構築したオートマトンが最小であることを証明することもできる。ただし、一部の場合では複数の最小オートマトンが存在することが分かった。
全体として、有限オートマトンを使って二次無理数の桁を効率的に計算できることが示された。この結果は、有名な定数の桁を小さなスペースで計算できるという従来の研究とは対照的である。

Stats

黄金比φの2進表現の第4桁は1である。
黄金比φの3進表現の第3桁は2である。
平方根2の2進表現の第4桁は0である。
(√13 + 3)/2の2進表現の第5桁は0である。
(√13 + 3)/2の3進表現の第4桁は2である。
(√3 - 1)/2の2進表現の第12桁は0である。
(√17 - 3)/4の2進表現の第16桁は0である。

Quotes

"有限オートマトンを使用して、ベース-bの表現における黄金比およびその他の二次無理数の桁を計算できる。"
"SAT ソルバを使って、構築したオートマトンが最小であることを証明することもできる。"
"一部の場合では複数の最小オートマトンが存在することが分かった。"

Key Insights Distilled From

Using finite automata to compute the base-$b$ representation of the golden ratio and other quadratic irrationals

by Aaron Barnof... at arxiv.org 05-07-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.02727.pdf

Deeper Inquiries

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有限オートマトンを使った桁計算の効率性と、従来の方法との比較はどのようなものか

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