完全マッチングカットを持つグラフの複雑性とアルゴリズム

Core Concepts

長い誘導パスと誘導サイクルを持たないグラフにおいて、完全マッチングカット問題、マッチングカット問題、切断完全マッチング問題は全てNP困難であり、指数時間アルゴリズムは存在しない。一方で、4-コーダルグラフでは、これらの問題が多項式時間で解ける。

Abstract

本論文では、長い誘導パスと誘導サイクルを持たないグラフにおける、完全マッチングカット問題(pmc)、マッチングカット問題(mc)、切断完全マッチング問題(dpm)の計算量を調べている。
まず、P14-フリーの8-コーダルグラフにおいて、これらの3つの問題がNP困難であり、指数時間アルゴリズムは存在しないことを示した。さらに、これらの問題を区別することも困難であることを示した。
一方で、4-コーダルグラフにおいては、dpmとpmcが多項式時間で解けることを示した。dpmについては、既知の強制ルールを適用することで解ける。pmcについては、グラフの深さ優先探索レベル構造を利用して、2-SAT問題に帰着させる新しいアプローチを提案した。
以上の結果は、k-コーダルグラフにおけるpmcの複雑性に関する未解決問題の一部を解決したものである。

Stats

長さ14以上の誘導パスを含まない8-コーダルグラフにおいて、完全マッチングカット問題、マッチングカット問題、切断完全マッチング問題は指数時間アルゴリズムで解くことができない。

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Complexity and algorithms for matching cut problems in graphs without long induced paths and cycles

by Hoang-Oanh L... at arxiv.org 04-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2307.05402.pdf

Deeper Inquiries

長さ13以下の誘導パスを持つグラフにおける完全マッチングカット問題の複雑性はどうなっているか

与えられた文脈によると、長さ13以下の誘導パスを持つグラフにおける完全マッチングカット問題の複雑性は、4-コーダルグラフに対しては多項式時間で解決可能であることが示されています。この場合、完全マッチングカット問題は効率的に解決できるグラフクラスの1つとなります。

完全マッチングカット問題を多項式時間で解くことができる他のグラフクラスはあるか

4-コーダルグラフ以外にも、特定のグラフクラスにおいて完全マッチングカット問題を多項式時間で解くことができる場合があります。例えば、3P6、2P7、P14-free 8-コーダルグラフに対しても、完全マッチングカット問題を多項式時間で解決できることが示されています。このように、特定のグラフ構造を持つ場合には、問題を効率的に解決することが可能です。

完全マッチングカット問題と切断完全マッチング問題の関係はどのように一般化できるか

完全マッチングカット問題と切断完全マッチング問題の関係は、一般的に次のように一般化できます。切断完全マッチング問題は、与えられたグラフにおいて、特定のマッチングカットを含む完全マッチングが存在するかどうかを判定する問題です。つまり、切断完全マッチング問題は、完全マッチングカット問題の特定のケースとして捉えることができます。このように、切断完全マッチング問題は、完全マッチングカット問題を包括するより広範な問題として捉えることができます。