任意の連結グラフにおけるMSTCI問題の3つの側面

Core Concepts

任意の連結グラフに対して、最小スパニング木の木サイクル間の交差数を最小化する問題について、2つの下限値を示し、グラフ間の比較、および頂点が全域的な場合の一般化を検討する。

Abstract

本論文では、任意の連結グラフに対するMSTCI問題について3つの側面を考察している。

交差数の2つの下限値の提示:

第1の下限値(ln,m)は、ソリューションが以下の2つの条件を最適に組み合わせるべきであることを示唆する:

木サイクルの長さが短いこと
サイクルエッジが結合に均等に分散されていること

第2の下限値(¯ln,m)は、μ-正則グラフと呼ばれる特殊なグラフに基づいて提案されており、これらのグラフは上記の条件を満たしている。この下限値は頂点が全域的なグラフの重要性を示している。

グラフとその後継者の交差数の比較:

ある連結グラフの交差数が、その後継者(1エッジ追加したグラフ)の全てを上回る例は稀であることを示した。
8頂点グラフの中で6例見つかった。これらは最密な全域頂点のないグラフである。

定理10の一般化の試み:

定理10は最も一般的な結果だが、任意のグラフに一般化することは難しい。
実験的に、最大次数が最小スパニング木の最大次数以下となるグラフは稀であることが分かった。
全体として、MSTCI問題の構造的特徴を理解するための重要な洞察が得られた。

Stats

頂点数nと辺数mの関係が2(n-1) < m ≤ n(n-2)/2の場合、ln,mは正の整数となる。
頂点数nが偶数の場合、(n-2)-正則グラフは後継者の全てを上回る交差数を持つ。

Quotes

"ソリューションは木サイクルの長さが短く、サイクルエッジが結合に均等に分散されるべきである"
"頂点が全域的なグラフは交差数最小化の重要な事例である"
"8頂点グラフの中で6例、最密な全域頂点のないグラフが交差数最大となっている"

Key Insights Distilled From

Three aspects of the MSTCI problem

by Manu... at arxiv.org 04-23-2024

https://arxiv.org/pdf/2301.07643.pdf

Deeper Inquiries

任意の連結グラフに対して、最小スパニング木の最大次数が最大次数以下となるソリューションが必ず存在するかどうかを明らかにすることは難しい。

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