最短経路の不一致性

Core Concepts

グラフ上の一意の最短経路システムの不均衡度は、一般的な経路システムよりも本質的に小さいことを示す。

Abstract

本論文では、グラフ上の一意の最短経路システムの不均衡度(discrepancy)に関する上界と下界を示した。 具体的には以下の結果を得た: 重み付き無向グラフ上の一意の最短経路システムの不均衡度は、頂点に関して O(n^1/4)、辺に関して O(n^1/4)以下である。この上界は構成的に示された。 上界は、プラナーグラフやバイパーティットグラフなどの特殊なグラフ上でも成り立つ。 一方で、一意の最短経路システムの頂点不均衡度下界は Ω(n^1/4)であり、これは一般の経路システムの下界 Ω(√n)よりも小さい。 この結果は、最短経路システムと一般の経路システムの組合せ構造の違いを明らかにしている。また、差分プライバシーの文脈でも応用されることを示した。

Stats

頂点数 n のグラフにおいて、一意の最短経路システムの頂点不均衡度は O(n^1/4 log^1/2 n)以下である。 辺数 m のグラフにおいて、一意の最短経路システムの辺不均衡度は O(n^1/4 log^1/2 n)以下である。

Quotes

"グラフ上の一意の最短経路システムの不均衡度は、一般的な経路システムよりも本質的に小さい。" "一意の最短経路システムの頂点不均衡度下界は Ω(n^1/4)であり、これは一般の経路システムの下界 Ω(√n)よりも小さい。"

Key Insights Distilled From

The Discrepancy of Shortest Paths

by Greg Bodwin,... at arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.15781.pdf

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