Core Concepts
ヘルムホルツ有限要素法解は低周波数領域で局所的に準最適である。
Abstract
本論文では、ヘルムホルツ方程式の有限要素法(FEM)解について、局所的な準最適性を示した。
主な結果は以下の通り:
形状正則な三角形分割に対して、H1重み付きノルムの局所誤差は、より大きな領域での最良近似誤差とL2誤差の和で抑えられる。
波長スケールで局所的に準均質なメッシュの場合、H1重み付きノルムの局所誤差は、より大きな領域での最良近似誤差と負のソボレフノルムの誤差の和で抑えられる。
これらの結果は、ヘルムホルツ方程式のFEM解が低周波数領域で局所的に準最適であることを示している。数値実験でも、この性質が確認された。
具体的には、以下のような結果が得られた:
非一様メッシュの場合、粗い領域の誤差は主に低周波数成分によって支配される一方、細かい領域の誤差は高周波数成分によって支配される。
人工的な源項を持つ問題では、ソース領域の誤差は高周波数成分に支配されるが、ソース領域外の誤差は低周波数成分に支配される。
これらの結果は、ヘルムホルツFEM解が低周波数領域で局所的に準最適であることを示唆している。
Stats
ヘルムホルツ方程式の有限要素法解の局所誤差は、波数kに依存しない定数で抑えられる。
Quotes
ヘルムホルツFEM解は低周波数領域で局所的に準最適である。
ヘルムホルツFEM解の局所誤差は、より大きな領域での最良近似誤差と負のソボレフノルムの誤差の和で抑えられる。