スパース ランダム ハイパーグラフにおける大規模な独立集合を見つけるアルゴリズムの低次元での困難性

Core Concepts

スパース ランダム ハイパーグラフにおいて、低次元多項式アルゴリズムは最大独立集合の密度の上限を達成できるが、それ以上の密度の独立集合を見つけることはできない。

Abstract

本論文では、スパース ランダム ハイパーグラフにおける大規模な独立集合を見つける問題を考察している。 まず、r 次元 Erdős–Rényi ランダムハイパーグラフ Hr(n, p)について以下の結果を示した: 低次元多項式アルゴリズムは、高確率で密度 (1-ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) の独立集合を見つけることができる。 一方で、低次元多項式アルゴリズムでは密度 (1+ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) 以上の独立集合を見つけることはできない。 次に、r 次元 r 部グラフ H(r, n, p)における γ 均衡独立集合について以下の結果を示した: 最大 γ 均衡独立集合の密度は高確率で (1±ε) (r/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) となる。 低次元多項式アルゴリズムは高確率で密度 (1-ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) の γ 均衡独立集合を見つけることができる。 一方で、低次元多項式アルゴリズムでは密度 (1+ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) 以上の γ 均衡独立集合を見つけることはできない。 これらの結果は、ランダムグラフにおける独立集合問題の統計計算ギャップが、ハイパーグラフの場合にも成り立つことを示唆している。

Stats

最大独立集合の密度は高確率で (1±ε) (r/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) となる。 低次元多項式アルゴリズムで見つけられる最大独立集合の密度は高確率で (1-ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) 以下である。 最大 γ 均衡独立集合の密度は高確率で (1±ε) (r/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) となる。 低次元多項式アルゴリズムで見つけられる最大 γ 均衡独立集合の密度は高確率で (1-ε) (1/(r-1)) log d/d^(1/(r-1)) 以下である。

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

The Low-Degree Hardness of Finding Large Independent Sets in Sparse Random Hypergraphs

by Abhishek Dha... at arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.03842.pdf

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