決定可能な型の階層的な表現

Core Concepts

階層的型理論(StraTT)は、型の階層を表す代わりに、型付け判断を階層化することで、一貫性を保ちつつ、より柔軟な型システムを実現する。

Abstract

本論文では、階層的型理論(StraTT)を提案している。StraTTの主な特徴は以下の通り:

型の階層を表すのではなく、型付け判断を階層化する。これにより、一貫性を保ちつつ、より柔軟な型システムを実現できる。

階層化された従属関数型に加えて、レベルが浮動する非従属関数型を導入する。これにより、従属関数型では表現できない概念を表現できるようになる。

定数の「displacement」という単純な形式の多相性を導入する。これにより、定数の再利用が容易になる。

サブシステムのsubStraTTについては一貫性が証明されており、StraTT全体については型安全性が証明されている。ただし、完全な一貫性については未解決の問題が残されている。

具体的な例として、決定可能な型、命題的等価性、依存ペアなどを示し、StraTTの表現力を示している。

プロトタイプの型チェッカーを実装し、StraTTの実用性を示している。

Stats

なし

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Stratified Type Theory

by Jonathan Cha... at arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2309.12164.pdf

Deeper Inquiries

質問1

StraTTの完全な一貫性を証明するための方法はあるか?
StraTTの完全な一貫性を証明するためには、いくつかのアプローチが考えられます。まず、現在の証明の枠組みを拡張して、浮動非依存関数の挙動をより詳細に取り扱うことが考えられます。浮動関数とレベルの相互作用に焦点を当て、それらが一貫性を損なわないことを厳密に証明することが重要です。さらに、浮動関数と依存関数の間の相互作用を詳細に調査し、それらがシステム全体の一貫性にどのように影響するかを理解することも重要です。また、浮動関数の挙動を制御する新しい規則や制約を導入することで、一貫性を強化する方法も考えられます。

質問2

StraTTの型システムは既存の証明支援系と比べてどのような長所短所があるか?
長所:

Stratified Type Theory（StraTT）は、型階層を使用することで依存関数と非依存関数の間の一貫性を確保している点が強みです。これにより、従来のパラドックスを回避しつつ、高い表現力を持つ型システムを構築することが可能です。
浮動関数の導入により、柔軟性が向上し、特定のレベルに依存しない関数を定義することができます。これにより、より複雑なプログラム構造を表現できます。
StraTTは、依存関数と非依存関数の組み合わせによる型理論の一貫性を実証しており、証明支援系としての信頼性が高いと言えます。
短所:

浮動関数の挙動が従来の関数型とは異なるため、その相互作用による一貫性の証明が難しい場合があります。特に、浮動関数がレベルの変化にどのように対応するかが課題となる可能性があります。
StraTTの型システムは新しい概念や規則を導入しているため、従来の証明支援系との互換性や学習コストに関する課題があるかもしれません。

質問3

StraTTの型システムを拡張して、より強力な型理論を構築することは可能か?
StraTTの型システムは既に高い表現力と一貫性を持っていますが、さらなる拡張によりより強力な型理論を構築することは可能です。例えば、浮動関数の挙動をさらに詳細に制御する新しい規則や制約を導入することで、型システムの柔軟性を向上させることができます。また、依存関数と非依存関数の間の相互作用や浮動関数の挙動に関するさらなる研究を行うことで、より洗練された型理論を構築することが可能です。さらに、浮動関数や依存関数の組み合わせによる新しいプログラミングパターンや証明手法の開発も、強力な型理論の構築に貢献することができます。