Core Concepts
放射状基底関数生成有限差分法を用いてポアソン方程式を解く際、単純な収束解析では予想されるよりも高次の収束が観察される。これは、離散化された微分演算子の近似誤差と解の収束誤差の関係に起因する。
Abstract
本論文では、放射状基底関数生成有限差分法(RBF-FD法)を用いてポアソン方程式を単位円上で解く問題を考えている。
まず、離散化された微分演算子の近似誤差は理論通りの挙動を示すことを確認した。
しかし、単純な収束解析では予想されるよりも高次の解の収束が、偶数次の単項式補間の場合に観察された。
この超収束現象を詳細に分析するため、Bayonaの誤差公式を用いて、演算子近似誤差と解の収束誤差の関係を系統的に調べた。
その結果、解の収束誤差には、離散化された微分演算子の近似誤差に加えて、大域的な線形システムの解法過程で生じる誤差の影響が現れることが明らかになった。
偶数次の単項式補間の場合、この追加の誤差項が奇数次の項となり、結果として高次の収束が観察されることが示された。
Stats
ポアソン方程式の解析解は以下の通りである:
u(x, y) = 1 + sin(4x) + cos(3x) + sin(2y)