線形常微分方程式、移流拡散方程式、移流分散方程式に対する陰的および陰陽混合型ADER法とDeC法の安定性解析

Core Concepts

本研究では、線形常微分方程式および線形偏微分方程式の解法として、陰的および陰陽混合型のADER法とDeC法の安定性解析を行った。陰的ADER法は A-安定性を持つことを示し、陰陽混合型ADER法およびDeC法の安定領域は CFL型条件に加えて、移流拡散方程式の場合には空間に依存しない条件によっても決まることを明らかにした。

Abstract

本論文では、線形常微分方程式および線形偏微分方程式の解法として、陰的および陰陽混合型のADER法とDeC法の安定性解析を行った。
まず、DeC法について、陰的および陰陽混合型の定式化を行い、Runge-Kutta法の枠組みで表現した。次に、ADER法についても同様に陰的および陰陽混合型の定式化を行い、Runge-Kutta法の枠組みで表現した。
陰的ADER法については、その安定関数がPadé近似と一致することを示し、A-安定性を持つことを証明した。一方、陰陽混合型ADER法およびDeC法については、数値的に安定領域を計算し、CFL型条件に加えて、移流拡散方程式の場合には空間に依存しない条件によっても安定性が決まることを明らかにした。移流分散方程式の場合、安定条件は明確ではないが、常微分方程式の場合の安定領域と整合的な結果が得られた。
最後に、数値例を用いて、安定性および収束性の解析結果を検証した。

Stats

陰的ADER法の安定関数は Padé(M, M+1) 近似と一致する。
陰陽混合型ADER法およびDeC法の安定領域は CFL型条件に加えて、移流拡散方程式の場合には空間に依存しない条件によっても決まる。
移流分散方程式の場合、安定条件は明確ではないが、常微分方程式の場合の安定領域と整合的な結果が得られた。

Quotes

"本研究では、線形常微分方程式および線形偏微分方程式の解法として、陰的および陰陽混合型のADER法とDeC法の安定性解析を行った。"
"陰的ADER法については、その安定関数がPadé近似と一致することを示し、A-安定性を持つことを証明した。"
"一方、陰陽混合型ADER法およびDeC法については、数値的に安定領域を計算し、CFL型条件に加えて、移流拡散方程式の場合には空間に依存しない条件によっても安定性が決まることを明らかにした。"

Key Insights Distilled From

Analysis for Implicit and Implicit-Explicit ADER and DeC Methods for Ordinary Differential Equations, Advection-Diffusion and Advection-Dispersion Equations

by Phil... at arxiv.org 04-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.18626.pdf

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