非滑らかなハミルトニアンを持つ定常状態の2次のMean Field Game偏微分包含式の分析と数値近似

Core Concepts

非滑らかなハミルトニアンを持つ定常状態のMean Field Game偏微分包含式の解析と数値解近似手法を提案する。特に、ハミルトニアンの部分微分を用いて一般化された弱解の概念を導入し、その存在性と一意性を示す。さらに、単調な有限要素法を提案し、その収束性を証明する。

Abstract

本論文では、Mean Field Game (MFG)システムの分析と数値解析について検討している。MFGシステムは、大数の確率的最適制御問題を記述するモデルであり、ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン(HJB)方程式と Kolmogorov-Fokker-Planck(KFP)方程式から成る。 従来の研究では、ハミルトニアンが微分可能であることを仮定していたが、実用上の多くの問題では、最適制御が bang-bang型となり、ハミルトニアンが非微分的になる。このような非滑らかなハミルトニアンを持つMFGシステムの解析と数値解析は未解決の課題であった。 本論文の主な貢献は以下の通りである: ハミルトニアンの部分微分を用いて、非滑らかなハミルトニアンを持つMFGシステムの一般化された弱解の概念を導入する。この弱解の概念では、プレイヤーが最適制御を一意に選択できない場合の振る舞いを適切に記述できる。 弱解の存在性と一意性を示す。一意性の証明には、Lasry-Lionsによる単調性条件を拡張した条件を用いる。 単調な有限要素法を提案し、その収束性を証明する。特に、値関数の近似解は強H1ノルム収束し、密度関数の近似解は強Lqノルム収束することを示す。 数値実験を通して、提案手法の性能を確認する。

Stats

値関数uの近似解は、H1ノルムで強収束する。 密度関数mの近似解は、Lqノルム(q∈[1,2*))で強収束し、H1ノルムで弱収束する。ただし、ハミルトニアンがC1の場合は、H1ノルムでも強収束する。

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Analysis and Numerical Approximation of Stationary Second-Order Mean Field Game Partial Differential Inclusions

by Yohance A. P... at arxiv.org 04-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2209.00303.pdf

Deeper Inquiries

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