バイナリ語の中で少数の異なる回文を含む語の臨界指数

Core Concepts

バイナリ語の中で少数の異なる回文を含む語の臨界指数を分類した。これは Fici and Zamboni [TCS 2013] の結果を拡張したものである。興味深いことに、18個と20個の回文を持つ語は、0 →01、1 →21、2 →0の形態写像の不動点の像である。

Abstract

この論文では、バイナリ語の中で少数の異なる回文を含む語の臨界指数を分類している。
まず、Fici and Zamboni [TCS 2013] は、バイナリ語の中で最小の回文数が9であり、これは語 (001011)ωによって達成されることを示した。一方、Thue-Morse 語 TMは最小の臨界指数を持ち、無限個の回文を含む。
本研究の結果は、「p個以下の回文を持つβ+-自由バイナリ語が存在するか?」という問題に完全に答えている。各場合について、そのような語が指数関数的に多いか多項式的に多いかも決定している。
結果は表1にまとめられている。緑色のセルは指数関数的に多い、赤色のセルは多項式的に多いことを意味する。Theorem 3または7に対応するセルにラベルが付けられている。
Fici and Zamboni [TCS 2013] はまた、非周期的バイナリ語は少なくとも11個の回文を含み、これはフィボナッチ語の形態写像によって達成されることを示した。この語には特に以下の因子が含まれる:
(00110100011010011010001101000110100110100011010011010001101000110100110100011010001101)^(7/2)
Theorem 1.(a)はこの指数を10^(3/+)に改善している。Fleischer and Shallit [7] は、長さnの11個以下の回文を持つバイナリ語の数を研究し、それがΘ(κ^n)であることを証明した。ここで、κ = 1.1127756842787...は方程式X^7 = X + 1の根である。

Stats

バイナリ語の中で少数の異なる回文を含む語の臨界指数に関する重要な数値は以下の通りです:

(001011)ωは9個の回文を含む
Thue-Morse 語TMは無限個の回文を含む
フィボナッチ語の形態写像は11個の回文を含む
Theorem 1.(a)は10^(3/+)の臨界指数を示した
Fleischer and Shallit [7]は11個以下の回文を持つバイナリ語の数がΘ(κ^n)であることを証明した

Quotes

該当する引用文はありません。

Key Insights Distilled From

Critical exponent of binary words with few distinct palindromes

by L'ub... at arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.13003.pdf

Deeper Inquiries

本研究の結果を拡張して、バイナリ語以外の文字数を持つ語の臨界指数と回文数の関係を調べることはできないか

この研究の結果を拡張して、バイナリ語以外の文字数を持つ語の臨界指数と回文数の関係を調べることは可能です。拡張する際には、異なるアルファベットを持つ言語や異なる規則に基づく言語に対して、同様の分析を行うことが重要です。これにより、異なる言語構造や規則性が回文数と臨界指数にどのように影響するかを理解することができます。

本研究で扱った語以外にも、回文数と臨界指数の関係が興味深い語はないか

本研究で扱った語以外にも、回文数と臨界指数の関係が興味深い語があります。例えば、異なる形式の自然言語や特定の文法規則に基づく言語など、さまざまな言語を対象にして同様の分析を行うことで、新たな洞察やパターンを発見することができるかもしれません。

回文数と臨界指数の関係は、言語理論や情報理論の他の分野にどのような示唆を与えるだろうか

回文数と臨界指数の関係は、言語理論や情報理論の他の分野に重要な示唆を与える可能性があります。例えば、言語の構造や規則性が回文数や臨界指数にどのように影響するかを理解することで、言語の複雑さやパターンの特性をより深く理解することができます。また、情報理論の観点から、回文数や臨界指数が言語の圧縮性能や情報量にどのように関連しているかを調査することで、情報の符号化や伝達における効率性について新たな知見を得ることができるかもしれません。