Abstract
FOMとGMRESは非対称線形方程式を解くためのKrylov部分空間法。
FOMはArnoldi法に密接に関連し、行列関数のベクトルへの作用を近似するために使用される。
Theorem 2.1はFOMの残差ノルムがGMRESの残差ノルムよりも大きくならないことを示す。
GMRESは最適性保証を持ち、残差ノルムが非減少であり、条件数などに基づいて収束率が計算される。
FOMの残差ノルムはしばしば振動し、大きなジャンプが見られる。Hkがゼロまたはゼロ付近で固有値を持つ場合、rFk のノルムは無限大になる可能性がある。
導入
FOMとGMRESは異なる式から反復を生成するKrylov部分空間からイテレートを生成する。
Qk はArnoldiアルゴリズムによって生成されたKrylov部分空間 Kk(A, b) の直交基底である。
反復定義
xFk および xGk はそれぞれxF k := ∥b∥2Qk(Hk)−1e1, xG k := ∥b∥2Qk(Hk+1,k)†e1 で定義される。
残差ベクトル
rFk := b − AxF k, rG k := b − AxG k
反復結果比較
GMRESイテレーションでは残差最適性保証があり、非減少であり他のKrylov部分空間法よりも優れている。
FOMイテレーションでは振動しやすく、大きなジャンプが見られる。
反復結果グラフィックス
図1:[−10, −1] ∪ [1, 20] の固有値を持つ対称行列およびsteam2行列に対するFOMとGMRESの残差ノルム。両方とも∥b∥2で正規化されている。
反復結果グラフィックス2
図2:Theorem 2.1 の境界と共に最良FOM残差 minj≤k ∥rF j ∥2、そしてFOMとGMRESの残差ノルム。全て∥b∥2で正規化されている。
Stats
この論文では特定の数値データや重要な数字は使用されていません。
Quotes
"GMRES residual norms are non-increasing and are optimal among Krylov subspace methods."
"FOM residual norms often appear oscillatory, with large jumps."