リーマン確率的勾配法によるネストされた合成最適化手法

Core Concepts

リーマンマニフォールド上の関数の合成最適化に焦点を当て、R-SCGDアルゴリズムを提案しました。

Abstract

この記事は、リーマンマニフォールド上の関数の合成最適化について詳しく説明しています。以下は記事の構造と要点です： Abstract: 合成関数の最適化におけるリーマンマニフォールド上での問題が増加している。 R-SCGDアルゴリズムは、内部関数の期待値を近似するために開発された。 Introduction: リーマンマニフォールド上での2階層合成最適化問題を考えている。 内部関数と外部関数のバイアスが問題となっている。 Related Work: リーマンマニフォールドでの確率的勾配降下法について研究が進んでいる。 多くの変異削減技術がSGDのサンプル複雑性を改善するために提案されている。 Contributions: 2つ以上の関数を含む期待値形式で合成最適化問題を解決するアルゴリズムを提案した。 提案手法はO(1/ϵ^2) のサンプル複雑性でϵ近似定常解を得られる。 Numerical Studies: 提案手法は従来手法よりも優れたパフォーマンスを示すことが示されています。

Stats

"Riemannian SGD converges to a critical point of the problem." "Expected squared Riemannian gradient smaller than ϵ in O(ϵ−2) calls." "Sample complexity of O(1/ϵ2) for the proposed algorithms."

Quotes

"The Riemannian stochastic gradient method cannot be directly applied." "A special algorithmic setup is required to tackle this type of problem."

Key Insights Distilled From

Riemannian Stochastic Gradient Method for Nested Composition Optimization

by Dewei Zhang,... at arxiv.org 03-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2207.09350.pdf

Deeper Inquiries

外部関数と内部関数間でバイアスが生じる理由は何ですか？

外部関数と内部関数の間でバイアスが生じる主な理由は、確率的勾配法を適用する際に内部関数の確率的近似値が使用されるためです。具体的には、内部関数の確率的勾配を外部関数の勾配推定に使用することで、正確な推定値ではなくバイアスのある推定値が得られます。この結果、外部関数の勾配も同様にバイアスのある推定値となります。 また、通常のリーマン多様体上で行う最適化手法ではこのような問題が発生しないため、特別な設計やアルゴリズムが必要とされます。これらの問題点を解決するためにRiemannian Stochastic Composition Gradient Descent (R-SCGD) アルゴリズムが提案されています。