本論文では、最近Steinbach et al.によって導入された修正ヒルベルト変換HTと、カノニカルなヒルベルト変換Hとの関係を明らかにしている。具体的には、HTφ = -Heφの関係を示し、この結果を利用して、HTの性質、特に新しい逆変換公式を導出している。
まず、積分表現を用いた証明では、コセカント関数のローラン級数展開を活用し、Heφ = -HTφを導いている。次に、周期関数に対するヒルベルト変換の定義を用いた証明では、三角関数の公式を利用して同じ結果を得ている。最後に、フーリエ級数を用いた証明では、Heφ = -HTφを直接的に示している。
これらの結果から、HTの逆変換公式、代替的な表式、積分表現などが導かれる。特に、φ∈H1(0,T)の場合の積分表現は、ヒルベルト自身が与えた表式と一致する。
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by Matteo Ferra... at arxiv.org 04-04-2024
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