Abstract
この論文は、d次元単位立方体内の点集合の最小分散について新しい下限を提供しています。特定のテストボックスクラスに焦点を当てることで、極端な集合理論の問題に分散を制約することができます。これは、rカバーフリーファミリーのサイズに関する下限を最小分散の逆関数に変換することで行われます。得られた下限は、最近得られた最小分散の上限と一致します。
Introduction and the Main Result:
HlawkaとNiederreiterに基づくRoteとTichyが導入したdispersion概念。
点集合のdispersionが小さいほど広く広がっている。
disp∗(n, d)およびその逆関数N(ε, d)への注目。
Proof of Theorem 1:
r-cover-freeファミリーに対するAlon and Asodiの下限境界。
特定セットB内の点が全て含まれる必要性。
Acknowledgements:
Noga Alonからr-free-coverシステム概念や論文[2]および[17]への重要性を指摘された感謝。
Stats
N(ε, d) ≥ 1 / (ε - 1)
N(ε, d) ≤ C · d^2 log d / ε
Quotes
"Intuitively, the smaller the dispersion of a point set is, the better spread over the unit cube the points have."
"The essentially tight factor 1/ε^2 in the lower bound for N(ε, d) in (4) is rather surprising."