Core Concepts
回路アンバランス指標に依存する一次勾配法を提案し、従来手法よりも強い収束保証を得る。
Abstract
本論文では、線形計画問題(LP)の近似解法として、回路アンバランス指標に依存する一次勾配法を提案している。
まず、線形計画問題の標準形式を定義し、従来の一次勾配法の収束保証について説明する。従来手法では、収束速度が制約行列のホフマン定数に依存していたが、本手法では回路アンバランス指標に依存する収束保証を得ることができる。
提案手法は以下のように動作する:
外側ループ: 変数を上下限に固定しながら、コスト関数を縮小していく。
内側ループ: 修正された二次計画問題を高速勾配法(R-FGM)で解く。
双対解を用いて、変数の固定を判断する。
この手法により、従来手法よりも強い収束保証が得られる。特に、制約行列が全完全単一行列の場合、多項式時間アルゴリズムが得られる。一方で、回路アンバランス指標の正確な値を知る必要がないため、推定値を用いた手法も提案している。
Stats
提案手法の計算量は、O(n1.5m2∥A∥2
1 · ¯
κ3(XA) log3 ((∥u∥1 + ∥b∥1)nm · κ(XA)∥A∥1/δ))
双対解の計算量は、O(m∥A∥2 · ¯
κ(XA) · log(n∥c∥1/δ))
Quotes
"我々は回路アンバランス指標に依存する一次勾配法を提案する。これにより、従来手法よりも強い収束保証が得られる。"
"特に、制約行列が全完全単一行列の場合、多項式時間アルゴリズムが得られる。"