データ駆動型のKoopman演算子と生成器の近似: 収束率と誤差評価

Core Concepts

データから有限次元の空間上で線形演算子を近似する一般的な枠組みを提案し、その収束性と誤差評価を示す。

Abstract

本論文では、動的システムの解析に有用な Koopman演算子やPerron-Frobenius演算子、およびそれらの生成器を、有限次元の基底関数を用いて近似する一般的な枠組みを提案している。
具体的には以下の点を明らかにしている:

提案する枠組みはEDMDやgEDMDなどの既存手法を特殊ケースとして含む。
近似演算子の収束性と固有値・固有関数の収束性を示した。
近似誤差の上界を導出し、観測データにノイズがある場合にも拡張した。
仮定を最小限に抑えた上で理論的結果を導出した。

数値実験により、理論的結果を検証している。本研究は、データ駆動型の動的システム解析手法の理論的理解を深める上で重要な貢献である。

Stats

動的システムの状態空間をXとし、観測量をf(x)とする。
Koopman演算子Kは、f(Φ(x))を記述する線形演算子である。
Perron-Frobenius演算子K*は、Kの随伴演算子であり、確率密度の時間発展を記述する。
Koopman演算子Ktとその生成器Lは、連続時間の場合の対応物である。

Quotes

"Global information about dynamical systems can be extracted by analysing associated infinite-dimensional transfer operators, such as the Perron–Frobenius and Koopman operators as well as their infinitesimal generators."
"Our framework contains EDMD and gEDMD as special cases, but can also be used to approximate more general operators."

Key Insights Distilled From

Data-driven approximation of Koopman operators and generators: Convergence rates and error bounds

by Liam Llamaza... at arxiv.org 05-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.00539.pdf

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