Core Concepts
本論文では、制約付き凸最適化問題に対する自然な分散低減近接勾配(VRPG)アルゴリズムの非漸近的保証を分析する。我々の主要な結果は、VRPG アルゴリズムの非漸近的保証である。これは、損失関数の複雑さ、ノイズの変動性、制約集合の幾何学的構造を捉えるインスタンス依存的なものである。我々は、VRPG アルゴリズムの非漸近的パフォーマンスが、与えられた問題とその小さな摂動問題の解の間のスケーリングされた距離によって支配されることを示す。ここで、摂動問題は与えられた凸制約の下で解かれる。H´
ajek-Le Cam の局所ミニマックス下限との接続を活用して、サンプルサイズNが無限大に近づくにつれ、VRPG アルゴリズムは、ユニバーサル定数とサンプルサイズの対数因子を除いて、有名な局所ミニマックス下限を達成することを示す。
Abstract
本論文では、制約付き確率凸最適化問題を扱う。具体的には、以下の問題を考える:
min_x {E_z~P0 f(x, z) + R(x)}
ここで、f(x, z)は x, zに関して2回連続微分可能で、μ-強convexかつL-滑らかであり、R(x)は既知の凸関数である。
本論文の主な貢献は以下の通り:
VRPG (Variance Reduced Proximal Gradient) アルゴリズムを提案し、その非漸近的インスタンス依存保証を示す。この保証は、損失関数の複雑さ、ノイズの変動性、制約集合の幾何学的構造を反映している。
与えられた問題と、その小さな摂動問題の解の間のスケーリングされた距離が、VRPG アルゴリズムの非漸近的パフォーマンスを支配することを示す。ここで、摂動問題は与えられた凸制約の下で解かれる。
H´
ajek-Le Cam の局所ミニマックス下限との接続を活用し、サンプルサイズNが無限大に近づくにつれ、VRPG アルゴリズムが、ユニバーサル定数とサンプルサイズの対数因子を除いて、この局所ミニマックス下限を達成することを示す。
全体として、本論文は制約付き確率最適化問題に対する非漸近的インスタンス依存保証を提供し、その漸近的最適性を示している。
Stats
与えられた問題と小さな摂動問題の解の間のスケーリングされた距離δ2(N) = N · E[||x^_N - x^_P0||^2]
損失関数fの強convexパラメータμ
損失関数fの滑らかさパラメータL