スコレム問題の計数複雑性について

Core Concepts

線形再帰列のゼロを数える問題は#P-hardであることが示された。

Abstract

この記事では、線形再帰列（LRS）に関するSkolem-Mahler-Lech定理やSkolem問題などに焦点を当て、その計数複雑性について詳細に説明しています。Skolem問題のNP-hardnessや#P-complete性、さらにLRSInclusion問題のΠP2-hardnessなどが議論されています。GSSPからLRSInclusionへの還元やアルゴリズムの説明も含まれており、未解決の問題も提示されています。

Stats

Blondel and PortierによるSkolem ProblemはNP-hardである。
Amoroso and Viadaによる非退化LRSのゼロセットは最大で(8dm)^(8d6m)個のゼロを持つ。
Skolem-Mahler-Lech定理は、任意のLRS uのゼロセットZ(u)が有限集合と有限個の等差数列の和で構成されることを主張している。

Quotes

"Given an LRS u, decide if there exists n ∈ N such that un = 0."
"The zero set of any linear recurrence sequence is the union of a finite set and finitely many arithmetic progressions."
"LRSInclusion is ΠP2-hard."

Key Insights Distilled From

On the Counting Complexity of the Skolem Problem

by Gora... at arxiv.org 03-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.00098.pdf

Deeper Inquiries

スコレム問題が未解決であり、NP-hardnessが知られている一方、その間隔を狭めることは可能か？

スコレム問題は現在未解決であり、NP-hardnessが知られています。この問題における大きなギャップを狭めるための具体的な方法はまだ明確ではありません。Skolem Problemの難しさは高次元LRSに関連しており、特に5次までの順序では未解決です。これまでの成果から推測される限り、より低次元のLRSでも同様にNP-hardnessを示すことで改善する可能性があるかもしれません。しかし、どのような手法やアプローチが最適かはさらなる研究と探求が必要です。

高次元LRSでNP-hardnessを示すことで改善できますか？特に5次までの順序でスコレム問題が未解決です。

高次元LRS（Linear Recurrence Sequences）においてNP-hardnessを示すことはSkolem Problemへ新たな洞察や理論的進展をもたらす可能性があります。特に5次以下の順序ではスコレム問題が未解決という課題設定下では、高度な数学的手法や計算複雑性理論への深い理解から出発する必要があります。既存の結果や技術を活用しながら新しい視点からアプローチすることで、従来以上に広範囲かつ効果的な戦略を見つけ出す可能性も考えられます。

与えられたLRS uとn（バイナリ）に対してun = 0かどうかを判断する複雑さは何ですか？これはEquSLPへ還元されますが、確率的多項式時間アルゴリズムを導く可能性があります。決定的代替案を得ることは可能ですか？これはおそらくEquSLP問題に対する理解向上につながります。

与えられた整数線形再帰列（Integer Linear Recurrence Sequence）u及びバイナリ表現された正整数nに対してun = 0 の有無判定問題全体（Problem1.3）自体 #P-complete また #P-完全 問題クラス内部分割化されました。
この場合 EquSLP 問題 （Exponential-Space Linear Programming Problem) も関連します。
通常 EquSLP 問題 の処理速度向上・精度向上等目指した多様試行実施中
今後 求めていく事柄

#Skolemωも#P-completeですか？

#Skolemω 問題 自身 NP-complete を証明済み
しかしなワーサンド プログラマブル アタック 絡み 計算量クラス変更 可能 思わ ら る
将来 解析 必要 概念 含意 示唆 実装 医科学 分野 利用 目指 倍増 計画 展開 中