可变系数Riesz分数扩散方程的τ前置条件器

Core Concepts

本文提出了一种基于快速离散正弦变换的对称前置条件器,用于加速求解具有变系数的Riesz分数扩散方程的离散线性系统。理论分析表明,所提出的前置条件GMRES方法的收敛率与网格尺寸无关。

Abstract

本文研究了Riesz空间分数扩散方程(RSFDE)的数值方法。作者首先提出了一种四阶准紧致差分格式来离散RSFDE。由于离散系统矩阵的非对称性和病态性,直接使用Krylov子空间方法求解会收敛缓慢。
为此,作者提出了一种基于快速离散正弦变换的对称前置条件器。理论分析表明,所提出的前置条件GMRES方法的收敛率与网格尺寸无关,即可以实现最优收敛。
具体来说,作者首先给出了RSFDE的多维离散格式,得到由块三对角矩阵和Toeplitz矩阵组成的离散系统矩阵。然后,作者定义了一种基于τ矩阵的对称前置条件器,并分析了前置条件GMRES方法的收敛性。结果表明,前置条件GMRES方法的收敛速度与网格尺寸无关。
最后,作者给出了数值实验,验证了所提出方法的有效性和优越性。

Stats

当α1 = 1.30时,误差为9.44e-5,一侧前置条件的CPU时间为1.01秒,迭代次数为6.6次;两侧前置条件的CPU时间为1.41秒,迭代次数为7.0次。
当α1 = 1.50时,误差为1.27e-4,一侧前置条件的CPU时间为0.93秒,迭代次数为6.2次;两侧前置条件的CPU时间为1.33秒,迭代次数为6.4次。
当α1 = 1.90时,误差为2.34e-4,一侧前置条件的CPU时间为0.81秒,迭代次数为5.0次;两侧前置条件的CPU时间为1.21秒,迭代次数为5.3次。

Quotes

无

Key Insights Distilled From

On $τ$-preconditioners for a quasi-compact difference scheme to Riesz fractional diffusion equations with variable coefficients

by Zi-Hang She,... at arxiv.org 04-17-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.10221.pdf

Deeper Inquiries

如何将所提出的前置条件器推广到更高维度的Riesz分数扩散方程

提出的前置条件器可以通过将其应用于更高维度的Riesz分数扩散方程来进行推广。对于d维问题，可以类似地将其应用于每个维度的Riesz分数导数部分，以形成一个整体的前置条件矩阵。通过适当地调整参数和矩阵结构，可以有效地处理更高维度的情况，并确保收敛性和计算效率。

对于其他类型的分数微分方程,是否也可以采用类似的前置条件策略

对于其他类型的分数微分方程，类似的前置条件策略也可以采用。关键是要识别问题的特征和结构，然后设计相应的前置条件矩阵以加速求解过程。无论是Riesz分数扩散方程还是其他类型的分数微分方程，都可以根据问题的特点来调整和优化前置条件策略，以提高数值求解的效率和稳定性。

如何进一步提高所提出方法的计算效率,例如通过并行计算或自适应网格等技术

要进一步提高所提出方法的计算效率，可以考虑采用并行计算技术。通过将计算任务分配给多个处理单元同时进行处理，可以加快整体计算速度。此外，还可以考虑使用自适应网格技术，根据问题的特性动态调整网格精细度，以在保证精度的同时降低计算成本。通过结合并行计算和自适应网格技术，可以进一步提高所提出方法的计算效率和实用性。