Core Concepts
本論文では、従来の古典的アプローチでは高速化が困難とされていた幾何学的3SUM困難問題について、量子コンピューティングを用いることで高速化できることを示した。具体的には、面積が最大qの三角形の発見、q点以上を含む単位円の発見、区間の包含関係の判定などの問題に対して、O(n^(1+o(1)))時間の量子アルゴリズムを提案した。さらに、ペア探索や多次元への一般化についても議論した。
Abstract
本論文では、従来の古典的アプローチでは高速化が困難とされていた幾何学的3SUM困難問題について、量子コンピューティングを用いることで高速化できることを示した。
具体的には以下の3つの問題について、O(n^(1+o(1)))時間の量子アルゴリズムを提案した:
面積が最大qの三角形の発見
点集合Sから、面積が最大qの三角形を見つける問題
点集合Sの双対平面上の線分配置を利用し、Groverサーチを適用することで高速化
q点以上を含む単位円の発見
点集合Sから、少なくともq点を含む単位円を見つける問題
線分配置の細分割を行い、Groverサーチを適用することで高速化
区間の包含関係の判定
2つの区間集合P, Qが与えられ、Pをある平行移動によってQに含めることができるかを判定する問題
配置の細分割と、ペア探索の手法を組み合わせることで高速化
さらに、ペア探索や多次元への一般化についても議論し、様々な3SUM困難問題に対する量子高速化手法を示した。
Stats
点集合Sの大きさをnとすると、面積が最大qの三角形を発見する量子アルゴリズムの時間計算量はO(n^(1+o(1)))である。
点集合Sの大きさをnとすると、q点以上を含む単位円を発見する量子アルゴリズムの時間計算量はO(n^(1+o(1)))である。
区間集合P, Qの大きさをそれぞれn, O(n)とすると、Pをある平行移動によってQに含めることができるかを判定する量子アルゴリズムの時間計算量はO(n^(1+o(1)))である。