高次元微分方程式の正則化動的パラメトリック近似

Core Concepts

高次元微分方程式の数値解法として、時間依存のパラメータを用いた非線形パラメトリック近似を提案し、正則化アプローチによって安定な計算手法を導出する。

Abstract

本論文では、高次元の初期値問題の数値解法として、時間依存のパラメータを用いた非線形パラメトリック近似を検討している。このアプローチは、量子力学のマルチガウス近似、テンソルネットワーク近似、深層ニューラルネットワークなどの応用分野で重要となる。
パラメータ空間への写像Φが正則でない場合、すなわちΦ'(q)の特異値が任意に小さくなる可能性がある場合に、正則化された最小二乗問題を解くことで安定な数値計算手法を導出する。
具体的には、時間微分 ̇u = Φ'(q) ̇q と ̇q を、 ∥̇u - f(u)∥^2 + ε^2∥̇q∥^2 を最小化することで決定する。この正則化アプローチにより、パラメータ q の微分方程式が極端に ill-conditioned になる問題に対しても、解 u = Φ(q) の良好な近似が得られることを示している。
数値実験では、量子力学のマルチガウス近似と常微分方程式のフロー写像の深層ニューラルネットワーク近似を取り上げ、理論結果を検証している。

Stats

微分方程式 ̇y = f(y), y(0) = y_0 を、時間依存パラメータ q(t)を用いた非線形パラメトリック近似 u(t) = Φ(q(t)) で近似する。
正則化された最小二乗問題 ∥̇u - f(u)∥^2 + ε^2∥̇q∥^2 を解くことで、 ̇u = Φ'(q) ̇q と ̇q を決定する。
正則化パラメータ ε(t) > 0 を適切に選ぶことで、パラメータ q の微分方程式が ill-conditioned になる問題に対しても、解 u = Φ(q) の良好な近似が得られる。

Quotes

"高次元の初期値問題の数値解法として、時間依存のパラメータを用いた非線形パラメトリック近似を検討している。"
"パラメータ空間への写像Φが正則でない場合、すなわちΦ'(q)の特異値が任意に小さくなる可能性がある場合に、正則化された最小二乗問題を解くことで安定な数値計算手法を導出する。"
"正則化アプローチにより、パラメータ q の微分方程式が極端に ill-conditioned になる問題に対しても、解 u = Φ(q) の良好な近似が得られることを示している。"

Key Insights Distilled From

Regularized dynamical parametric approximation

by Mich... at arxiv.org 03-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.19234.pdf

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