단위 구면 상의 근최적 직교쌍 자유 집합의 볼록성

Core Concepts

단위 구면 상의 직교쌍 자유 집합 중 유한 개의 상호 배타적 볼록 집합으로 구성된 집합의 측도가 double cap 추측이 참이 아닌 경우 double cap의 측도보다 크다.

Abstract

이 논문에서는 단위 구면 상의 직교쌍 자유 집합에 대한 최적화 문제를 다룹니다.
먼저 Section 2에서는 유한 개의 거의 서로 배타적인 이진 셀로 구성된 집합 B가 최적에 가깝다는 것을 보입니다. 이를 위해 다음과 같은 과정을 거칩니다:

측도 이론 배경을 소개하고, 이진 셀 분할을 정의합니다.
임의의 직교쌍 자유 집합 S와 임의의 ε > 0에 대해, S의 대부분의 측도가 ε-밀집된 이진 셀들의 합집합에 포함되고, 각 셀 내부의 S의 밀도가 1-ε 이상임을 보입니다.
이진 셀들을 적절히 축소하여 직교쌍 자유 집합을 만드는 스케일링 연산을 정의하고, 이 연산이 측도를 크게 줄이지 않음을 보입니다.

Section 3에서는 유한 개의 상호 배타적 볼록 집합으로 구성된 집합 A가 최적에 가깝다는 것을 보입니다. 이를 위해 B에 속한 집합의 볼록화 연산을 정의하고, 이 연산이 측도를 늘리는 것을 보입니다.
마지막으로 Section 4에서는 k개 이하의 상호 배타적 볼록 집합으로 구성된 집합 중 측도가 최대인 집합이 존재함을 보입니다.

Stats

단위 구면 S2의 측도 μ(S2) = 1
직교쌍 자유 집합 S의 측도 μ(S) ≤ (1 + o(1)) · (1.154...)^(-d), 여기서 d는 차원
double cap의 측도 = (√2)^(-d) = (1.414...)^(-d)

Quotes

"If the double cap conjecture is not true, there exists a set S ∈A with μ(S) > 1/√2."
"For every measurable orthogonal-pair-free set S and every ε > 0, there exists a set S' ∈A such that μ(S') > μ(S) - ε."

Key Insights Distilled From

Convexity of near-optimal orthogonal-pair-free sets on the unit sphere

by Apurva Mudga... at arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.18404.pdf

Deeper Inquiries

질문 1

직교쌍 자유 집합의 최적화 문제를 다른 차원에서 어떻게 일반화할 수 있을까?
답변 1 여기에

질문 2

double cap 추측이 참이 아닌 경우, 최적 직교쌍 자유 집합의 구조적 특성은 무엇일까?
답변 2 여기에

질문 3

직교쌍 자유 집합의 최적화 문제와 관련된 다른 기하학적/조합론적 문제는 무엇이 있을까?
답변 3 여기에